Високо оцінив «Геометричні дослідження» Гаусс, що провів Лобачевского (1842) у члени-кореспонденти Геттингенського вченого суспільства, що було по суті Академією наук гановерського королівства. Однак у пресі в оцінкою нової геометричної системи Гаусс не виступив.
Висока оцінка гауссом відкриття Лобачевского була пов'язана з тим, що Гаусс, ще з 90-х років XVIII в. займався теорією паралельності ліній, прийшов до тих же висновкам, що й Лобачевский. Свої погляди по цьому питанню Гаусс не публікував, вони збереглися тільки в його чорнових записках і в деяких листам до друзів. В 1818 р. у листі до австрійського астронома Герлингу (1788-1864) він писав: «Я радуюся, що ви маєте мужність висловитися так, ніби Ви визнавали хибність нашої теорії паралельних, а разом з тим і всієї нашої геометрії. Але оси, гніздо яких Ви потривожите, полетять Вам на голову»; очевидно, під «потривоженими осами» Гаусс мав на увазі прихильників традиційних поглядів на геометрію, а також апріорізму математичних понять.
Незалежно від Лобачевского й Гаусса до відкриття неевклідової геометрії прийшов угорський математик Янош Бояи (1802-1860), син Ф. Бояи.
Коли Я. Бояи прийшов до тих же ідеям, що Лобачевский і Гаусс, батько не зрозумів його, однак запропонував надрукувати короткий виклад його відкриття у вигляді додатка до свого посібника з математики, що вышли в 1832р. Повна назва праці Я. Бояи - «Додаток, що містить науку про простір, абсолютно щиру, що не залежить від істинності або хибності XI аксіоми Евкліда (що a priori ніколи вирішено бути не може)» і його звичайно коротко називають просто «Апендикс». Відкриття Я. Бояи не було визнано при його житті; Гаусс, якому Ф. Бояи послав "Апендикс", зрозумів його, але ніяк не сприяв визнанню відкриття Я. Бояи.
1.3 Аксіоматика Гильберта
Хоча в сучасному аксіоматичному викладі геометрії Евкліда не завжди користуються аксіоматикою Гильберта, приведемо її, як першу повну, незалежну й несуперечливу систему аксіом.
Всі двадцять аксіом системи Гильберта підрозділені на п'ять груп.
Група I містить вісім аксіом приналежності.
Група II містить чотири аксіоми порядку.
Група III містить п'ять аксіом конгруентності.
Група IV містить дві аксіоми безперервності.
Група V містить одну аксіому паралельності.
Переходимо до формулювання аксіом по групах. Одночасно будемо вказувати деякі твердження, що випливають із аксіом.
I. Аксіоми приналежності
I, 1. Які б не були дві крапки A і B, існує пряма a, що належать ці крапки.
I, 2. Які б не були дві крапки A і B, існує не більше одній прямій, який належать ці крапки.
I, 3. Кожній прямій a належать принаймні дві крапки. Існують принаймні три крапки, що не належать одній прямій.
Зазначені три аксіоми вичерпують список аксіом приналежності планіметрії. Наступні п'ять аксіом разом із зазначеними трьома завершують список аксіом приналежності стереометрії.
I, 4. Які б не були три крапки A, B і C, що не належать одній прямій, існує площина ?, що належать ці три крапки. Кожної площини належить хоча б одна крапка.
I, 5. Які б не були три крапки A, B і C, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, який належать ці крапки.
I, 6. Якщо дві приналежні прямі a різні крапки A і B належать деякій площині ?, те кожна приналежній прямій a крапка належить зазначеній площині.
I, 7. Якщо існує одна крапка A, що належить двом площинам ? і ?, те існує принаймні ще одна крапка B, що належить обом цим площинам.
I, 8. Існують принаймні чотири крапки, що не належать однієї площини.
З метою використання звичної для нас геометричної лексики домовимося ототожнювати між собою наступні вираження: 1) «крапка А належить прямій a (площини α)», 2) «пряма а (площина α) проходить через крапку А» 3) «крапка А лежить на прямій а (площини α)» 4) «крапка А є крапкою прямій а (площини α)» і тому подібні.
Теорема 1. Дві різні прямі не можуть мати більше однієї загальної крапки.
Теорема 2. Дві площини або зовсім не мають загальних крапок, або мають загальну пряму, на якій лежать всі їхні загальні крапки.
Теорема 3. Площина й не лежача на ній пряма не можуть мати більше однієї загальної крапки.
Теорема 4. Через пряму й не лежачу на ній крапку, або через дві різні прямі із загальною крапкою проходить одна й тільки одна площина.
Теорема 5. Кожна площина містить принаймні три крапки.
II. Аксіоми порядку
II, 1. Якщо крапка B прямій а лежить між крапками А и С тієї ж прямої, то А, У и С - різні крапки зазначеної прямої, причому В лежить також і між С и А.
II, 2. Які б не були дві різні крапки А и С, на обумовленій ними прямій існує принаймні вона крапка В така, що З лежить між А и В.
II, 3. Серед будь-яких трьох крапок, що лежать на одній прямій існує не більше однієї крапки, що лежить між двома іншими.
Сформульовані три аксіоми ставляться до розташування об'єктів на прямій і тому називаються лінійними аксіомами порядку. Нижче остання аксіома порядку ставиться до розташування геометричних об'єктів на площині. Для того, щоб сформулювати цю аксіому, уведемо поняття відрізка.
Пари різних крапок А и В назвемо відрізком і будемо позначати символом АВ або ВА. Крапки прямій, обумовленої А и В, що лежать між ними, будемо називати внутрішніми крапками, або просто крапками відрізка АВ. Інші крапки зазначеної прямої будемо називати зовнішніми крапками відрізка АВ.
II, 4 (Аксіома Паша). Якщо А, У и С - три крапки, що не лежать на одній прямій, і а - якась пряма в площині, обумовленої цими крапками, не утримуюча ні однієї із зазначених крапок і минаюча через деяку крапку відрізка АВ, то ця пряма проходить також або через деяку крапку відрізка АС, або через деяку крапку відрізка ВР.
Підкреслимо, що з одних аксіом порядку II, 1 - 4 ще не випливає, що будь-який відрізок має внутрішні крапки. Однак залучаючи ще аксіоми приналежності I, 1 - 3 можна довести наступне твердження:
Теорема 6. Які б не були дві різні крапки А и В на прямій, ними обумовленої, існує принаймні одна крапка С, що лежить між А и В.
Теорема 7. Серед будь-яких трьох крапок однієї прямої завжди існує одна крапка, що лежить між двома іншими.
Теорема 8. Якщо крапки А, У и С не належать одній прямій і якщо деяка пряма а перетинає які-небудь два з відрізків АВ, ВР і АС, то ця пряма не перетинає третій із зазначених відрізків.
Теорема 9. Якщо В лежить на відрізку АС, і С - на відрізку ВD, то В и С лежать на відрізку АD.
Теорема 10. Якщо З лежить на відрізку АD, а В - на відрізку АС, то В лежить також на відрізку АD, а С - на відрізку BD.
Теорема 11. Між будь-якими двома крапками прямої існує нескінченно багато інших її крапок.
Теорема 12. Нехай кожна із крапок С и D лежить між крапками А и В. Тоді якщо М лежить між С и D, те М лежить і між А и В.
Теорема 13. Якщо крапки С и D лежать між крапками А и В, то всі крапки відрізка СD належать відрізку АВ (у цьому випадку ми будемо говорити, що відрізок СD лежить усередині відрізка АВ).
Теорема 14. Якщо крапка З лежить між крапками А и В, то 1) ніяка крапка відрізка АС не може бути крапкою відрізка CВ, 2) кожна відмінна від Із крапка відрізка АВ належить або відрізку АС, або відрізку СВ.
Зазначені твердження дозволяють упорядкувати множину крапок будь-якій прямій і вибрати на цій прямій напрямок.
Будемо говорити, що дві різні крапки А и В прямій a лежать по різні сторони (по одну сторону) від третьої крапки Про ту ж пряму, якщо крапка Про лежить (не лежить) між А и В.
Із зазначених вище тверджень випливає наступна теорема.
Теорема 15. Довільна крапка Про кожну пряму а розбиває всі інші крапки цієї прямої на два непустих класи так, що будь-які дві крапки прямій а, що належать тому самому класу, лежать по одну сторону від ПРО, а будь-які дві крапки, що належать різним класам, лежать по різні сторони від О.
Таким чином, завдання на будь-якій прямій двох різних крапок О и Е визначає на цієї прямий промінь або напівпряму ОЕ, що володіє тим властивістю, що будь-яка її крапка й крапка Е лежать по одну сторону від О.
Вибравши на прямій а дві різні крапки О и Е, ми можемо тепер визначити порядок проходження крапок на прямій за наступним правилом: 1) якщо А и В – будь-які крапки променя ОЕ, то будемо говорити, що А передує В, якщо А лежить між О и В, 2) будемо говорити, що крапка Про передує будь-якій крапці променя ОЕ, 3) будемо говорити, що будь-яка крапка, що належить тій же прямій і не приналежна лучу ОЕ, передує як крапці ПРО, так і будь-яку крапку променя ОЕ, 4) якщо А и В - будь-які крапки, що не належать лучу ОЕ, то ми будемо говорити, що А передує В, якщо В лежить між А и О.
Легко перевірити, що для обраного нами порядку проходження крапок прямій а справедлива властивість транзитивності: якщо А передує В, а В передує З, те А передує С.
Аксіоми, наведені вище, дозволяють упорядкувати й крапки, що належать довільної площини ?.
Теорема 16. Кожна пряма а, що належить площини α, розділяє не лежачі на ній крапки цієї площини на два непустих класи так, що будь-які дві крапки А и В з різних класів визначають відрізок АВ, що містить крапку прямій а, а будь-які дві крапки А и А’ з одного класу визначають відрізок АА’, усередині якого не лежить жодна крапка прямій а.
У відповідність із твердженням цієї теореми ми можемо говорити, що крапки А и А’ (одного класу) лежать у площині α по одну сторону від прямій а, а крапки А и В (різних класів) лежать у площині α по різні сторони від прямій а.
III. Аксіоми конгруентності
III, 1. Якщо А и В – дві крапки на прямій а, А’ – крапка на тій же прямій або на іншій прямій а', то по дану від крапки А’ сторону прямій а' найдеться, і притім тільки одна, крапка В’ така, що відрізок А'’ конгруентний відрізку АВ. Кожний відрізок АВ конгруентний відрізку ВА.