Евклідова і неевклідова геометрії (стр. 4 из 14)
III, 2. Якщо відрізки А'' і А”B” конгруентні тому самому відрізку АВ, то вони конгруентні й між собою.
III, 3. Нехай АВ і ВР - два відрізки прямій а, що не мають загальних внутрішніх крапок, А'' і B'' - два відрізки тій же прямій, або іншій прямій а', що також не мають загальних внутрішніх крапок. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'', а відрізок ВР конгруентний відрізку B'', те відрізок АС конгруентний відрізку А''.
Сформульовані три аксіоми ставляться до конгруентності відрізків. Для формулювання наступних аксіом нам знадобляться поняття кута і його внутрішніх крапок.
Пари напівпрямих h і k, що виходять із однієї й тієї ж крапки О и не лежачих на одній прямій, називається кутом і позначається символом
або 
.Якщо напівпрямі задаються двома своїми крапками ОА й ОВ, то ми будемо позначати кут символом
або 
. У силу теореми 4 будь-які два промені h і k, тридцятилітні кут , визначають, і притім єдину, площина α.Внутрішніми крапками
будемо називати ті крапки площини α, які, по-перше, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь h, що й будь-яка крапка променя k, і, по-друге, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь k, що й будь-яка крапка променя h.III, 4. Нехай дані
на площині α, пряма а' на цій же або на якій-небудь іншій площині α’ і задана певна сторона площини α’ відносно прямій а'. Нехай h’ – промінь прямій а', що виходить із деякої крапки О’. Тоді на площині α’ існує один і тільки один промінь k’ такий, що конгруентний 
, і при цьому всі внутрішні крапки лежать по задану сторону від прямій а'. Кожний кут конгруентний самому собі.III, 5. Нехай А, У и С – три крапки, що не лежать на одній прямій, А’, B’ і С’ – інші три крапки, що також не лежать на одній прямій. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'’, відрізок АС конгруентний відрізку А'’ і 
конгруентний 
, те 
конгруентний 
і 
конгруентний 
Домовимося тепер про порівняння неконгруентних відрізків і кутів.
Будемо говорити, що відрізок АВ більше відрізка А'', якщо на прямій, обумовленої крапками А и В, найдеться лежача між цими крапками крапка З така, що відрізок АС конгруентний відрізку А'В'. Будемо говорити, що відрізок АВ менше відрізка А'', якщо відрізок А'' більше відрізка АВ.
Символічно той факт, що відрізок АВ менше відрізка А'' (конгруентний відрізку А'') будемо записувати так:
АВ<A'' (AB=A'').
Будемо говорити, що
більше 
, якщо в площині, обумовленої , найдеться промінь ОС, всі крапки якого є внутрішніми крапками , такий, що 
конгруентний . Будемо говорити, що менше , якщо більше .За допомогою аксіом приналежності, порядку й конгруентності можна довести цілий ряд теорем елементарної геометрії. Сюди ставляться: 1) три широко відомі теореми про конгруентність (рівності) двох трикутників, 2) теорема про конгруентність вертикальних кутів, 3) теорема про конгруентність всіх прямих кутів, 4) теорема про одиничність перпендикуляра, опущеного із крапки на пряму, 5) теорема про одиничність перпендикуляра, проведеного до даної крапки прямій, 6) теорема про зовнішній кут трикутника, 7) теорема про порівняння перпендикуляра й похилої.
IV. Аксіоми безперервності
За допомогою аксіом приналежності, порядку й конгруентності ми зробили порівняння відрізків, що дозволяє укласти, яким із трьох знаків <, = або > зв'язані ці відрізки.
Зазначених аксіом, однак, недостатньо 1) для обґрунтування можливості виміру відрізків, що дозволяє поставити у відповідність кожному відрізку певне речовинне число, 2) для обґрунтування того, що зазначена відповідність є взаємно однозначним.
Для проведення такого обґрунтування варто приєднати до аксіом I, II і III дві аксіоми безперервності.
IV, 1 (аксіома Архімеда). Нехай АВ і СD – довільні відрізки. Тоді на прямій, обумовленої крапками А и В існує кінцеве число крапок А1, А2, ..., Аn, розташованих так, що крапка А1 лежить між А и А2, крапка А2 лежить між А1 і А3, ..., крапка Аn-1 лежить між Аn-2 і Аn, причому відрізки АА1, А1А2, ..., Аn-1An конгруентні відрізку CD і крапка В лежить між А и Аn.
IV, 2 (аксіома лінійної повноти). Сукупність всіх крапок довільної прямої а не можна поповнити новими об'єктами (крапками) так, щоб 1) на поповненій прямій були визначені співвідношення «лежить між» і «конгруентний», визначений порядок проходження крапок і справедливі аксіоми конгруентності III, 1 - 3 і аксіома Архімеда IV, 1, 2) стосовно колишніх крапок прямій певні на поповненій прямій співвідношення «лежить між» і «конгруентний» зберігали старий зміст.
Приєднання до аксіом I, 1 – 3, II і III, 1- 3 аксіоми Архімеда дозволяє поставити у відповідність кожній крапці довільної прямої а певне речовинне число х, називане координатою цієї крапки, а приєднання ще й аксіоми лінійної повноти дозволяє затверджувати, що координати всіх крапок прямій а вичерпують множину всіх речовинних чисел. Користуючись цим, можна обґрунтувати метод координат.
V. Аксіома паралельності
Сама остання аксіома грає в геометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічно несуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідову геометрії.
У геометрії Евкліда ця аксіома формулюється так.
V.Нехай а – довільна пряма й А – крапка, що лежить поза прямій а, тоді в площині α, обумовленою крапкою А и прямої а існує не більше одній прямій, що проходить через А и не перетинає а.
Довгий час геометри намагалися з'ясувати, чи не є аксіома паралельності наслідком всіх інших аксіом. Це питання було вирішено Миколою Івановичем Лобачевским, що довів незалежність аксіоми V від аксіом I - IV.
По-іншому результат Лобачевского можна сформулювати так: якщо до аксіом I – IV приєднати твердження, що заперечує справедливість аксіоми V, те наслідку всіх цих положень будуть становити логічно несуперечливу систему (неевклідову геометрію Лобачевского).
Систему наслідків, що випливають із одних тільки аксіом I - IV звичайно називають абсолютною геометрією. Абсолютна геометрія є загальною частиною як евклідової, так і неевклідової геометрий, тому що всі пропозиції, які можуть бути доведені тільки за допомогою аксіом I - IV, вірні як у геометрії Евкліда, так і в геометрії Лобачевского.
Доказ несуперечності аксіоматики Гильберта
Щоб довести несуперечність якоїсь теорії Х, необхідно з матеріалу інший, свідомо несуперечливої, теорії А побудувати така модель, у котрої виконуються всі аксіоми теорії Х. Якщо ц удасться, теорію Х можна вважати несуперечливої. Отже, для того, щоб довести несуперечність гильбертовой системи, необхідно побудувати таку модель евклідової геометрії, у якій виконувалися б всі аксіоми, запропоновані Гильбертом.
Для побудови такої моделі, необхідна вищезгадана свідомо несуперечлива теорія. У моделі, побудованої Гильбертом, такою теорією служить теорія дійсних чисел. Ідея побудови моделі складалася в розгляді системи координат на площині. У такій системі кожній крапці М площини відповідають два числа х и в – її координати. Щоб зрозуміти суть побудови моделі забудемо про площину й наявної на ній координатній системі, «крапками» будемо називати впорядковані пари дійсних чисел (х; у) тобто пари (х; у) і (в; х) з різними х и в будемо вважати різними. Тепер спробуємо визначити «пряму». Згадаємо, що кожна пряма описується в координатах лінійним рівнянням виду ax + by + c = 0, де хоча б один з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля. Наприклад, рівняння прямій, не паралельної осі ординат, має вигляд в = kx + l, або, що те ж саме, ax + by + c = 0, де a = k, b = -1, c = l. Якщо ж пряма паралельна осі ординат, їй відповідає рівняння x = p (тобто рівняння ax + by + c = 0, де a = 1, b = 0, c = -p;). При цьому якщо всі коефіцієнти рівняння ax + by + c = 0 помножити на те саме число k ≠ 0, те отримане рівняння буде описувати ту ж пряму. Ми ж у своїй моделі будемо називати «прямій» будь-яке лінійне рівняння виду ax + by + c = 0, у якому хоча б один з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля, причому коефіцієнти розглядаються з точністю до ненульового множника пропорційності (при k ≠ 0 рівняння ax + by + c = 0 і (ak)x + (bk)y + kc = 0 уважаються однієї й тій же прямій).