Евклідова і неевклідова геометрії (стр. 5 из 14)
Далі, «крапка» (х1; в1) лежить на «прямій», якщо числа х1 і в1 задовольняють зазначеному рівнянню. Як бачимо, для визначення «прямих», «крапок» і розташування «крапок» на «прямій» досить обпертися на теорію дійсних чисел. Легко перевірити, що в зазначеній моделі виконуються, наприклад, такі аксіоми:
1. Через дві різні «крапки» проходить «пряма»
2. На «прямій» є не менш двох «крапок»
Легко визначити випадок, при якому одна із трьох «крапок» лежить на «прямій» «між» двома іншими. Коли A(x1; y1), B(x2; y2) і C(x3;y3) – три «крапки», що лежать на одній «прямій», «крапка» B уважається розташованої «між» A і C за умови, що число x2 укладено між числами x1 і x3 (якщо x1 = x2 = x3, то y2 укладено між y1 і y3). Тоді очевидно, що
3. Із трьох «крапок», що лежать на одній «прямій», одна й тільки одна розташована між двома іншими.
Виконуються й інші аксіоми порядку (зокрема, аксіома Паша). Помітимо, що ми спеціально не ілюструємо зміст аксіом кресленнями, оскільки при чисто аксіоматичному викладі не слід використовувати звичні геометричні подання.
Будемо говорити, що дві «прямі» a1x + b1y + c1 = 0 і a2x + b2y + c2 = 0 «паралельні», якщо коефіцієнти a1, b1 і a2, b2 пропорційні. Це можна коротко записати рівністю a1b2 – a2b1 = 0. Неважко перевірити, що дві «паралельні» «прямі» або не мають ні однієї загальної «крапки», або збігаються (у звичайній геометрії теж часто приймають, що пряма паралельна самої собі). Більше того,
4. Через будь-яку «крапку» A1(x1; y1) проходить одна й тільки одна «пряма», паралельна даної «прямій» Ax + By + C = 0.
Інакше кажучи, у зазначеній моделі виконується аксіома паралельності. Можна тут говорити й про довжини відрізків, і про величини кутів. Наприклад, «відстанню» між двома «крапками» A1(x1; y1) і A2(x2; y2) називається число
A1A2 = 
Далі, у звичній евклідовій геометрії справедлива теорема косинусів:
cos C = 
(величина кута З дорівнює арккосинусу правої частини рівності. Можна заперечити, що тригонометричні функції (і, зокрема, косинус) визначаються геометрично й обійтися без звичайної евклідової геометрії в цьому випадку неможливо.
Однак це невірно. У математичному аналізі доводиться, що функція cos x задається нескінченним рядом
cos x =
,який сходиться для будь-якого дійсного x. Таким чином, у розглянутій моделі припустимо говорити й про відстані, і про величини кутів.
Так само легко перевірити, що в ній виконуються й аксіоми конгруентності (зокрема, перша й друга ознаки рівності трикутників). У підсумку всі гильбертови аксіоми (які виявляють собою розвиток і уточнення аксіом Евкліда) у розглянутій моделі виконуються. Це й означає, що система аксіом евклідової геометрії умовно несуперечлива. Інакше кажучи, вона несуперечлива, якщо несуперечливо теорію дійсних чисел.
1.4 Інші системи аксіом геометрії
Повернемося, однак, до евклідової геометрії. У цей час систему аксіом Гильберта часто заміняють еквівалентної їй системою. Ми приведемо ті групи аксіом однієї такої системи, по яких вона відрізняється від вищевикладеної системи (групи аксіом порядку й руху, що заміняє в цій системі групу аксіом конгруентності).
Перевага цієї системи полягає в тім, що вона дозволяє простіше й швидше одержати первісні геометричні факти, краще, як здається, описує властивості основних геометричних об'єктів з погляду звичних уявлень.
II. Аксіоми порядку
Будемо думати, що на прямій є два напрямки, взаємно протилежних один одному, і по відношенню кожному з них кожна пара крапок А и В перебуває у відомому відношенні, що виражається словом «передувати». Це відношення позначається знаком <, так що вираження «А передує В» можна символічно записати так:
А < B.
Потрібно, щоб зазначене відношення для крапок на прямій задовольняло нижченаведеним п'яти аксіомам.
II, 1.Якщо А < У в одному напрямку, то В < А в протилежному напрямку.
II, 2. В одному із двох напрямків А < У виключає В < А.
II, 3. В одному із двох напрямків якщо А < У и В < З, те А < С.
II, 4. В одному із двох напрямків для кожної крапки В найдуться крапки А и С такі, що А < B < C.
Кожне із тверджень аксіом II, 2 - 4 ставиться до одному із двох напрямків на прямій. По аксіомі II, 1 воно вірно також і для протилежного напрямку.
Перш ніж сформулювати останню аксіому, визначимо деякі поняття. Нехай а – пряма й А – крапка на ній. При фіксованому напрямку на прямій крапка А розбиває її на дві частини (напівпрямі), для кожної крапки Х однієї з них Х <А, а для кожної крапки Х іншій напівпрямій А < X. Очевидно, ця розбивка прямої на частині не залежить від обраного на ній напрямку (аксіома II, 1).
Нехай А и В – дві крапки прямій а. Якщо для крапки Із прямої а виконується умова А < C < В або В < C < А, то ми будемо говорити, що крапка З лежить між крапками А и В. Очевидно, властивість крапки лежати між двома даними не залежить від напрямку на прямій. Частина прямій а, всі крапки якої лежать між А и В, ми будемо називати відрізком АВ, а крапки А и В – кінцями відрізка.
II, 5. Пряма а, що лежить у площині ?, розбиває цю площину на дві напівплощини так, що якщо X і Y - дві крапки однієї напівплощини, то відрізок XY не перетинається із прямій а, якщо ж X і Y належать різним напівплощинам, то відрізок XY перетинається із прямій а.
З аксіом приналежності (зв'язку), які в цій системі аксіом аналогічні аксіомам приналежності Гильберта, і аксіом порядку виводяться наступні наслідки.
Теорема 1. Серед крапок А, В, З на прямій а одна й тільки одна лежить між двома іншими.
Теорема 2. Кожний відрізок містить принаймні одну крапку.
Теорема 3. Якщо В - крапка відрізка АС, то відрізки АВ і ВР належать АС, тобто кожна крапка відрізка АС і кожна крапка відрізка ВР належить відрізку АС.
Теорема 4. Якщо В - крапка відрізка АС і X - крапка того ж відрізка, відмінна від В, то вона належить або відрізку АВ, або ВР.
Теорема 5. Нехай α – площина, і а – лежача на ній пряма, b – інша пряма, або напівпряма, або відрізок у тій же площині α.
Тоді, якщо b не перетинає а, те всі крапки b лежать по одну сторону від а, тобто в одній з напівплощин, обумовлених прямій а.
Нехай А, У и С - три крапки, що не лежать на одній прямій. Фігура, складена із трьох відрізків АВ, ВР і АС називається трикутником, крапки А, У и С - вершинами трикутника, а відрізки АВ, ВР і АС - сторонами трикутника.
Теорема 9. Нехай АВС – трикутник у площині α і а - пряма в цій площині, не минаюча ні через одну із крапок А, В, С. Тоді якщо ця пряма перетинає сторону АВ, те вона перетинає й притім тільки одну із двох інших сторін ВР або АС.
Не можна не помітити, що остання наведена теорема майже аналогічна аксіомі Паша, що входить у систему Гильберта (див. сторінку 9), і відрізняється від її тільки тим, що в аксіомі не затверджується одиничність другої пересічної сторони трикутника.
III. Аксіоми руху
У даній системі група аксіом конгруентності замінена цією групою аксіом. Втім, треті групи аксіом обох систем в остаточному підсумку виконують ту саму задачу, визначаючи різними способами ті самі явища (група аксіом конгруентності в Гильберта визначає відносини конгруентності прямо, аксіоми руху - через свої наслідки).
Отже, будемо вимагати, щоб існували такі відбиття крапок, прямих і площин на крапки, прямі й площини, іменовані рухами, що задовольняють наступним аксіомам.
III, 1. Кожний рух Н зберігає відношення приналежності.
Тобто, якщо крапка А належить прямій а (площини α), те її образ при русі Н (позначуваний НА) належить образу прямої На (відповідно образу площини Нα).
III, 2. Кожний рух Н зберігає відношення порядку на прямій.
Це означає, як, напевно, уже догадався читач, що кожному із двох напрямків на прямій а можна зіставити такий напрямок на прямій На, що щораз, коли для крапок X і Y прямій а має місце X < Y, для відповідних їм крапок прямої На має місце HX < HY.
Із цих двох аксіом треба, що кожний рух переводить напівпряму в напівпряму, напівплощина в напівплощину.
III, 3. Руху утворять групу.
Це значить:
а) Зіставлення Н0 кожному елементу х (крапці, прямій, площини) його самого є рух. Цей рух називається тотожним.
б) Якщо рух Н1 зіставляє довільному елементу х елемент y, а рух Н2 зіставляє y елемент z, те зіставлення елементу х елемента z є рух. Воно позначається Н2Н1 і називається добутком рухів.
в) Для кожного руху Н існує рух Н-1 таке, що Н-1Н=Н0. Рух Н-1 будемо називати зворотним.