Евклідова і неевклідова геометрії (стр. 6 из 14)

III, 4. Якщо при русі Н пряма h, як ціле, і її початкова крапка А залишаються нерухливими, то всі крапки напівпрямій h залишаються нерухливими.

III, 5. Для кожної пари крапок А и В існує рух Н, котре переставляє їх місцями: НА=В, НВ=А

III, 6. Для кожної пари променів h, k (напівпрямих), що виходять із однієї крапки, існує рух Н, їх що переставляє: Нh=k, Hk=h.

III, 7. Нехай α і β – будь-які площини, а й b – прямі в цих площинах, А и В – крапки на прямих а й b. Тоді існує рух, що переводить крапку А в У, задану напівпряму прямій а, обумовлену крапкою А, - у задану напівпряму прямій b, обумовлену крапкою В, задану напівплощину площини α, обумовлену прямій а, – у задану напівплощину площини β, обумовлену прямій b.

Теорема 10.Нехай α – площина, і а – приналежна їй пряма. Тоді якщо рух Н переводить кожну з напівплощин площини α, обумовлених прямій а, у себе й залишає нерухливими крапки прямій а, те воно є тотожним.

Дійсно, тотожний рух Н⁰ має зазначеними в теоремі властивостями Н, а отже, по аксіомі III, 7 збігається з ним.

Визначимо тепер поняття конгруентності. Фігуру F₁ ми будемо називати конгруентній фігурі F₂, якщо існує рух Н, що переводить F₁ в F₂: HF₁=F₂. Із групових властивостей руху (аксіома III, 3) випливають наступні властивості відносини конгруентності:

Кожна фігура F конгруентна сама собі.

Дійсно, тотожний рух Н⁰ переводить F в F.

Якщо фігура F₁ конгруентна F₂, то фігура F₂ конгруентна F₁.

Справді, якщо Н – рух, що переводить фігуру F₁ в F₂, то рух Н^-1 переводить фігуру F₂ у фігуру F₁.

Якщо фігура F₁ конгруентна F₂, а фігура F₂ конгруентна фігурі F₃, то фігура F₁ конгруентна F₃.

Дійсно, якщо Н' – рух, що переводить фігуру F₁ в F₂, а Н'' – рух, що переводить фігуру F₂ в F₃, то рух Н''Н' переводить F₁ в F₃.

Уперше подібну систему запропонував через десять після появи гильбертовой аксіоматики Фрідріх Шур.

Через ще десять років німецький математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Ельмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюріх) створив векторну аксіоматику геометрії. У Вейля первісними є поняття «крапка» і «вектор», а пряма й відрізок визначаються з їхньою допомогою. Є аксіоми додавання векторів (означаючі, що вектори утворять комутативну групу), аксіоми множення вектора на дійсне число, аксіоми відкладання векторів (зокрема, аксіома трикутника:

), аксіоми скалярного добутку векторів і аксіома розмірності (для планіметрії в ній затверджується: якщо дані три ненульових вектори , і , те який-небудь із них виражається у вигляді комбінації двох інших: ). При заданих крапці А и ненульовому векторі пряма (А, ) визначається як множина всіх крапок М, для яких вектор пропорційний , тобто найдеться таке дійсне число t, що . Далі визначаються відрізки, кути, багатокутники, окружність і інші фігури: наприклад, відстань між А и В – як квадратний корінь зі скалярного квадрата вектора , тобто . Теорема Піфагора легко доводиться за допомогою скалярного добутку, а аксіома паралельності - за допомогою векторного визначення прямої й аксіоми рівномірності.

На закінчення відзначимо, що гильбертова аксіоматика повністю уточнила не цілком зроблену систему аксіом, створену Евклідом більше двох тисяч років тому. Аксіоматика Фрідріха Шура й аксіоматика Германа Вейля зв'язали геометрію з поняттями групи перетворень і векторного простору, які відіграють найважливішу роль у багатьох розділах сучасної математики, фізики, економіки, хімії, біології й інших областей знання.

Глава II. Неевклідові геометрії в системі Вейля

2.1 Елементи сферичної геометрії

У цьому пункті розглянуті елементи так званої сферичної геометрії - геометрії сфери Евклідова простору. Найкоротшими (геодезичними) або прямими лініями на сфері є більші окружності, тобто такі окружності, площини яких проходять через центр даної сфери.

Тому що будь-які два більших кола перетинаються, то в сферичній геометрії не здійснюється ні постулат Евкліда, ні аксіома паралельності Лобачевского. У цій геометрії не виконується також ряд інших фактів абсолютної геометрії.

Наприклад, прямі в сферичній геометрії замкнуті й на них неможливо встановити поняття крапки, що лежить «між» для трьох крапок, тому що кожну із цих крапок на окружності можна вважати крапкою, що лежить між двома іншими. Дві крапки на великому колі визначають два відрізки й прямі мають кінцеву довжину. Таким чином, аксіоми порядку в сферичній геометрії повинні описувати властивості циклічного розташування крапок на прямій. І все-таки, незважаючи на зазначені розходження в сферичній геометрії є багато властивостей, аналогічних відповідним властивостям в евклідовій геометрії й геометрії Лобачевского. Ці геометрії, включаючи й геометрію досить малих шматків сфери, в основних питаннях не протиставляються між собою, а копіюють один одного.

Візьмемо на сфері три крапки А, В, З, що не лежать в одній площині із центром Про дану сферу. Сукупність цих крапок і дуг АВ, ВР і АС більших окружностей, менших півоберту, називається сферичним трикутником АВС. Крапки А, В, С називаються вершинами сферичного трикутника, а дуги, АВ, ВР, АС — його сторонами. Кутом А сферичним трикутником АВС називається, кут між дотичними, проведеними до дуг АВ і АС у крапці їхнього перетинання А. Очевидно, цей кут є лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами більших окружностей АВ і АС. Ясно, що сферичний трикутник можна одержати за допомогою тригранного кута, якщо перетнути його сферою, центр якої буде збігатися з вершиною даного кута. Справді, у перетинанні сфери із гранями даного тригранного кута одержимо сферичний трикутник.

Зі шкільного курсу геометрії відомо, що в тригранному куті будь-який його плоский кут менше суми двох інших плоских кутів і більше їхньої різниці. У геометрії сфери цій пропозиції відповідає наступна теорема. У всякому сферичному трикутнику кожна сторона менше суми двох інших його сторін і більше їхньої різниці.

На підставі цієї теореми, як і у звичайній планіметрії, доводиться, що в сферичному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і, обернено, проти більшого кута лежить більша сторона.

У цій геометрії є сферичні двукутники - фігури більше прості, чим сферичні трикутники. Сферичний двукутник по визначенню, представляє частину сфери, обмежену двома більшими півколами, що перетинаються у двох діаметрально протилежних крапках.

Симетрія сфери щодо діаметральної площини й поворот її навколо діаметра на даний кут, мабуть, являють собою приклади перетворень сфери, при яких відстані між будь-якими двома крапками дорівнює відстані між їхніми образами. Приведемо загальне визначення.

Перетворення сфери, при яких зберігаються відстані між будь-якими двома її крапками, називаються рухами. Сферична геометрія вивчає властивості фігур, що зберігаються при будь-яких рухах сфери.

Полярні трикутники

Усяка площина

, що проходить через центр сфери, перетинає цю сферу по великій окружності. Кінці А, А' діаметра, перпендикулярного площини

, називаються полюсами цієї окружності. У цьому випадку більша окружність називається полярою крапок А и А'.

Очевидно, всі крапки поляри вилучені від свого полюса на відстань, рівне

R/2, де R позначає радіус даної сфери. Ясно також, що якщо дана крапка вилучена від двох крапок великої окружності на відстань R/2, то вона є полюсом цієї великої окружності. Перейдемо тепер до визначення полярного трикутника.

Якщо вершини трикутника АВС є полюсами сторін іншого сферичного трикутника А₁У₁С₁, то цей останній називається полярним трикутником стосовно даного.

Таким чином, радіус-вектор

перпендикулярний векторам і , тобто

Аналогічно будемо мати

Звідси треба, що якщо трикутник А₁У₁С₁ буде полярним до трикутника АВС, то трикутник АВС у свою чергу буде полярним стосовно трикутника А₁У₁С₁.