Евклідова і неевклідова геометрії (стр. 7 из 14)
Таким чином, сферичні трикутники АВС і А1У1С1, взаємно полярні один одному.
Будемо позначати вершини й кути сферичного трикутника більшими буквами латинського алфавіту А, В, С, а протилежні їм сторони — відповідними малими буквами того ж алфавіту а, Ь, с. Вершини й протилежні їм сторони полярного трикутника будемо позначати тими ж буквами з індексами А1, В1, С1, відповідно a1, b1, c1.
Лінійні елементи трикутника тут і в подальших формулах входять у вигляді відносин до радіуса сфери, тому доцільно ввести наступне поняття наведеної довжини. Відстань між двома крапками на сфері, віднесене до її радіуса, будемо називати наведеною відстанню.
Доведемо наступну пропозицію про взаємно полярні трикутники.
Теорема. Кут одного сферичного трикутника й відповідна йому наведена сторона взаємно полярного трикутника доповнюють один одного до 
, тобто
і т.д. Тому що
(*)Те з (*) треба, що
Таким чином, виводимо
Аналогічно доводяться інші рівності:
Перейдемо до висновку деяких формул сферичної геометрії.
Формули прямокутного трикутника в сферичній геометрії
Перейдемо до висновку деяких формул сферичної геометрії. Нехай в евклідовому просторі нам дана сфера радіуса R. Візьмемо на ній прямокутний трикутник AВС зі сторонами a, b, з, які будуть дугами більших кіл відповідно ВР, СА й АВ, причому вмовимося вважати
(мал. 2). Останнє означає, що дотичні в крапці З, проведені до більших дуг СА, СВ, перпендикулярні. З'ясуємо зв'язок між лінійними й кутовими елементами даного прямокутного трикутника.Опустимо із крапки В перпендикуляри ВР1, і ВА1на прямі ОС і ОА Евклідова простору. Із трикутника ОВС1, маємо
(*)Аналогічно із трикутників OBA1і BA1C1 треба, що
(**)Крім із цих трьох співвідношень BC1 і BA1, одержимо
(1.1)Формула (1.1) показує, що синус наведеного катета рівняється синусу наведеної гіпотенузи, помноженому на синус протилежного кута трикутника.
У попереднім міркуванні підстава С1, перпендикуляра ВР1, може збігатися із центром сфери або бути лівіше його на діаметрі ОС. Але можна переконатися, що одержувані нижче формули, як і формула (1.1), будуть завжди справедливі. До речі відзначу ще раз, що розглядаються тільки такі сферичні трикутники, які визначаються його вершинами й найменшими дугами більших окружностей, попарно їх з'єднуючими.
З'ясуємо зв'язок гіпотенузи c з катетами а й b. Із трикутника ОВС1, маємо
(1.2)Далі із трикутника ОВА1і ОС1А1треба, що
Крім із отриманих трьох рівностей ОС1і ОА1будемо мати
. (1.3)Ця формула виражає теорему Піфагора: косинус наведеної гіпотенузи прямокутного трикутника рівняється добутку косинусів наведених катетів. Аналогічним образом виводяться інші формули. Наприклад, із прямокутного трикутника А1ВР1треба, що
(1.4)Далі, тому що
те з (1.2) маємо
(1.5)З іншого боку,
(1.6)З (*, 1.4- 1.6) випливає, що
(1.7)Поряд із цією формулою справедлива також парна формула
(1.7')Перемножуючи останні два співвідношення, одержимо
Відкидаючи ненульові співмножники й застосовуючи теорему Піфагора, остаточно будемо мати
(1.8)Візьмемо тепер інше вираження А1С1 через соs A. Тому що
те з (**) і (1.5-1.6), маємо
Звідси треба, що
(1.9)З (1.1) випливає також, що
Останні дві рівності дають
Або
(1.10)Доведені формули прямокутного трикутника можна виписати, користуючись так званим правилом Непера. Щоб сформулювати це правило, умовимося розташовувати елемент прямокутного трикутника а, В, з, А, b у зазначеному на циклічному порядку.
Для кожного із цих елементів попередній і наступний елементи називаються прилеглими, а інші два елементи — протилежними. Для катета b, наприклад, елементи a, А будуть прилеглими, а елементи з, В — протилежними. Прилеглими елементами для гіпотенузи є кути A і В, а протилежними — катети а й b.
Сформулюємо тепер правило Непера. Косинус будь-якого елемента сферичного прямокутного трикутника рівняється добутку синусів протилежних елементів або добутку котангенсів прилеглих елементів. Якщо під знаком функції коштує катет, то тригонометрична функція міняється на суміжну - синус а косинус, тангенс на котангенс і навпаки. Помітимо також, що у всіх формулах довжини катетів і гіпотенузи діляться на радіус сфери R.
Формули косокутного трикутника в сферичній геометрії
Одержимо сНачало теорему косинусів. Нехай АВС довільний сферичний трикутник. Опустимо з вершини У висоту ВD. Застосовуючи до трикутника ВDС теорему Пифагора, одержимо
,де d=AD, a=BC, b=BC, AB=c.
Перепишемо попередню рівність, другий множник формули косинуса різниці:
.(1.11)Перший і третій множники в першому члені правої частини по теоремі Піфагора дають
. Спростимо другий член у правій частині. Тому що 
,те заміняючи
по формулі (1.9) на 
, одержимо 
Таким чином, з (1.11) треба, що
(1.12)Ця залежність, що виражає сторону сферичного трикутника через дві інші сторони в косинус протилежного кута, називається теоремою косинусів.
Доведемо тепер теорему синусів. Із прямокутного трикутника АВ і ВDС (мал. 6) одержуємо
Звідси треба, що
Якщо опустити тепер висоту з вершини А, то будемо мати
Отже
(1.13)Ці залежності сторін і синусів протилежних кутів становлять теорему синусів сферичного трикутника АВС.
Друга теорема косинусів
Припустимо, що сферичний трикутник А1У1С1, є полярним до даного трикутника АВС. Застосовуючи до нього теорему косинусів, одержимо
Але в силу формул (див. Полярні трикутники), маємо
Заміняючи в попередній рівності сторони й кути тільки що виписаними вираженнями, одержимо
Або
(*)Формула й становить зміст 2-й теореми косинусів: Косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших кутів, узятому зі зворотним знаком, і складеному з добутком синусів тих же кутів на косинус наведеної протилежної сторони. Аналогічні дві формули можна одержати круговою заміною лінійних і кутових елементів даного трикутника АВС.