Методы решения биматричных игр (стр. 2 из 2)
Теорема 2.Выполнение неравенств
(1)
равносильно выполнению неравенств
(2)Иными словами, для того, чтобы убедиться в обоснованности претензий пары (р*,q*) на то, чтобы определять равновесную ситуацию, нужно проверить справедливость неравенства
только для двух чистых стратегий игрока А (р = 0 и р = 1) и неравенства
только для двух чистых стратегий игрока В (q = 0 иq= 1).
Четыре неравенства (2) позволяют провести поиск точки равновесия вполне конструктивно.
Запишем средние выигрыши игроков Аи Вв более удобной форме.
Имеем
Обратимся к первой из полученных формул.
Полагая в ней сначала р = 1, а потом р = 0, получаем,
Рассмотрим разности
Полагая
получим для них следующие выражения
В случае, если пара (р, q) определяет точку равновесия, эти разности неотрицательны
Поэтому окончательно получаем
Из формул для функции нв ( р, q) при q = 1 и q = 0 соответственно имеем
Разности
и
с учетом обозначений
.приводятся к виду
совершенно так же, как соответствующие разности для функции НА.
Если пара (р, q) определяет точку равновесия, то эти разности неотрицательны
Поэтому
Вывод
Для того, чтобы в биматричной игре
, 
,пара (р, q) определяла равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств
,
, 
,
,где
.