Методы решения биматричных игр (стр. 1 из 2)
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БИМАТРИЧНЫХ ИГР
1. Основные определения теории биматричных игр
Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:
игрок А – может выбрать любую из стратегий А1, ... , Ат,
игрок В – любую из стратегий В1, …, Вn
При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно:
если игрок А выбрал i-ю стратегию
, а игрок В – k-ю стратегию 
, то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу 
, а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу 
.Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.
Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы (первая из них описывает выигрыши игрока А, а вторая – выигрыши игрока В).
Обычно эти таблицы записывают в виде матриц
Здесь А – платежная матрица игрокаА, а В – платежная матрица игрокаВ.
При выборе игроком А i-й стратегии, а игроком В – k-й стратегии их выигрыши находятся в матрицах выплат на пересечении i-х строк и k-x столбцов: в матрице А это элемент
, а в матрице В – элемент .Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны), получаются две платежные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная.
Замечание. Рассматриваемые матричные игры, можно рассматривать и как биматричные, где матрица выплат игроку В противоположнаматрице выплат А:
В общем случае биматричная игра – это игра с ненулевой суммой.
Класс биматр. игр значительно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а, значит, неизбежно увеличиваются и трудности, встающие на пути их успешного разрешения.
Пример. «Студент — Преподаватель».
Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А) готовится к зачету, который принимает Преподаватель (игрок В). Можно считать, что у Студента две стратегии – подготовиться к сдаче зачета (+) и не подготовиться (-). У Преподавателя также две стратегии – поставить зачет [+] и не поставить зачета [-].
В основу значений функций выигрыша игроков положим следующие соображения:
Количественно это можно выразить, например, так
2. Смешанные стратегии в биматричных играх
В приведенных примерах описаны ситуации, в которых интересы игроков не совпадают. Встает вопрос о том, какие рекомендации необходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая конфликтная ситуация разрешилась. Иными словами, что мы будем понимать под решением биматричной игры?
Попробуем ответить на это вопрос так:
вследствие того, что интересы игроков не совпадают, нам нужно построить такое (компромиссное) решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.
Не пытаясь сразу выражать эту мысль совсем точно, скажем – попробуем найти некую равновесную ситуацию, явное отклонение от которой одного из игроков уменьшало бы его выигрыш.
Подобный вопрос мы ставили и при рассмотрении матричных игр. Напомним, что возникающее при разработке минимаксного подхода понятие равновесной ситуации приводило нас к поиску седловой точки, которая, существует не всегда – конечно, если ограничиваться только чистыми стратегиями игроков Аи В, т.е. стратегиями
.Однако при расширении матричной игры путем перехода к смешанным стратегиям, т. е. к такому поведению игроков, при котором они чередуют (чистые) стратегии с определенными частотами:
игрок А – стратегии A1,..., Ат с частотами р1,..., рт, где
а игрок В – стратегии В1,...., Вn, с частотами q1,..., qn, где
выяснилось, что в смешанных стратегиях равновесная ситуация всегда существует. Иными словами, любая матричная игра в смешанных стратегиях разрешима.
Поэтому, рассматривая здесь биматричные игры, разумно попробовать сразу же перейти к смешанным стратегиям игроков (этим мы предполагаем, что каждая игра может быть многократно повторена в неизменных обстоятельствах).
В матричном случае смешивание стратегий приводило к расширению возможности выплат в том смысле, что расчет строился из вычисления средних выигрышей игроковА иВ, которые определялись по элементам платежной матрицы А и вероятностям
и 
: 
, 
При смешанных стратегиях в биматричных играх также возникают средние выигрыши игроков А иВ, определяемые по правилам, в которых уже нет никакой дискриминации игрока В:
, 
3. 2x2 биматричные игры. Ситуация равновесия
Мы предполагаем уделить основное внимание случаю, когда у каждого из игроков имеется ровно две стратегии, т. е. случаю т = п = 2. Поэтому нам кажется уместным выписать приведенные выше формулы именно для такого случая.
В 2 ´ 2 биматричной игре платежные матрицы игроков имеют следующий вид
,
,вероятности
биматричная игра решение
а средние выигрыши вычисляются по формулам
где
, 
Сформулируем основное определение.
Определение. Будем считать, что пара чисел
,
, 
определяет равновесную ситуацию, если для любых р и q, подчиненных условиям
одновременно выполнены следующие неравенства 
(1)
Пояснение. Выписанные неравенства (1) означают следующее: ситуация, определяемая смешанной стратегией (р*, q*), является равновесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к тому, что выигрыш отклонившегося игрока может только уменьшиться. Тем самым, получается, что если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.
Теорема 1 (Дж. Нэш).Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.
Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?
Если некоторая пара чисел (р*,q*) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того, чтобы убедиться в обоснованности этих претензий, или, наоборот, доказать их необоснованность, необходимо проверить справедливость неравенств (1) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого qвпределах от 0 до 1. В общем случае число таких проверок бесконечно. И, следовательно, действенный способ определения равновесной ситуации нужно искать где-то в ином месте.