Смекни!
smekni.com

Методы решения биматричных игр (стр. 1 из 2)

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БИМАТРИЧНЫХ ИГР


1. Основные определения теории биматричных игр

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А – может выбрать любую из стратегий А1, ... , Ат,

игрок В – любую из стратегий В1, …, Вn

При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно:

если игрок А выбрал i-ю стратегию

, а игрок В – kстратегию
, то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу
, а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу
.

Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.

Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы (первая из них описывает выигрыши игрока А, а вторая – выигрыши игрока В).

Обычно эти таблицы записывают в виде матриц


Здесь А – платежная матрица игрокаА, а В – платежная матрица игрокаВ.

При выборе игроком А i-й стратегии, а игроком Вk-й стратегии их выигрыши находятся в матрицах выплат на пересечении i-х строк и k-x столбцов: в матрице А это элемент

, а в матрице В – элемент
.

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны), получаются две платежные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная.

Замечание. Рассматриваемые матричные игры, можно рассматривать и как биматричные, где матрица выплат игроку В противоположнаматрице выплат А:

В общем случае биматричная игра – это игра с ненулевой суммой.

Класс биматр. игр значительно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а, значит, неизбежно увеличиваются и трудности, встающие на пути их успешного разрешения.

Пример. «Студент — Преподаватель».

Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А) готовится к зачету, который принимает Преподаватель (игрок В). Можно считать, что у Студента две стратегии – подготовиться к сдаче зачета (+) и не подготовиться (-). У Преподавателя также две стратегии – поставить зачет [+] и не поставить зачета [-].

В основу значений функций выигрыша игроков положим следующие соображения:

Количественно это можно выразить, например, так

2. Смешанные стратегии в биматричных играх

В приведенных примерах описаны ситуации, в которых интересы игроков не совпадают. Встает вопрос о том, какие рекомендации необходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая конфликтная ситуация разрешилась. Иными словами, что мы будем понимать под решением биматричной игры?

Попробуем ответить на это вопрос так:

вследствие того, что интересы игроков не совпадают, нам нужно построить такое (компромиссное) решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.

Не пытаясь сразу выражать эту мысль совсем точно, скажем – попробуем найти некую равновесную ситуацию, явное отклонение от которой одного из игроков уменьшало бы его выигрыш.

Подобный вопрос мы ставили и при рассмотрении матричных игр. Напомним, что возникающее при разработке минимаксного подхода понятие равновесной ситуации приводило нас к поиску седловой точки, которая, существует не всегда – конечно, если ограничиваться только чистыми стратегиями игроков Аи В, т.е. стратегиями

.

Однако при расширении матричной игры путем перехода к смешанным стратегиям, т. е. к такому поведению игроков, при котором они чередуют (чистые) стратегии с определенными частотами:

игрок Астратегии A1,..., Ат с частотами р1,..., рт, где

а игрок Встратегии В1,...., Вn, с частотами q1,..., qn, где

выяснилось, что в смешанных стратегиях равновесная ситуация всегда существует. Иными словами, любая матричная игра в смешанных стратегиях разрешима.

Поэтому, рассматривая здесь биматричные игры, разумно попробовать сразу же перейти к смешанным стратегиям игроков (этим мы предполагаем, что каждая игра может быть многократно повторена в неизменных обстоятельствах).

В матричном случае смешивание стратегий приводило к расширению возможности выплат в том смысле, что расчет строился из вычисления средних выигрышей игроковА иВ, которые определялись по элементам платежной матрицы А и вероятностям

и
:

,

При смешанных стратегиях в биматричных играх также возникают средние выигрыши игроков А иВ, определяемые по правилам, в которых уже нет никакой дискриминации игрока В:

,

3. 2x2 биматричные игры. Ситуация равновесия

Мы предполагаем уделить основное внимание случаю, когда у каждого из игроков имеется ровно две стратегии, т. е. случаю т = п = 2. Поэтому нам кажется уместным выписать приведенные выше формулы именно для такого случая.

В 2 ´ 2 биматричной игре платежные матрицы игроков имеют следующий вид

,

,

вероятности

биматричная игра решение

а средние выигрыши вычисляются по формулам

где

,

Сформулируем основное определение.

Определение. Будем считать, что пара чисел

,

,

определяет равновесную ситуацию, если для любых р и q, подчиненных условиям

одновременно выполнены следующие неравенства

(1)

Пояснение. Выписанные неравенства (1) означают следующее: ситуация, определяемая смешанной стратегией (р*, q*), является равновесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к тому, что выигрыш отклонившегося игрока может только уменьшиться. Тем самым, получается, что если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

Теорема 1 (Дж. Нэш).Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?

Если некоторая пара чисел (р*,q*) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того, чтобы убедиться в обоснованности этих претензий, или, наоборот, доказать их необоснованность, необходимо проверить справедливость неравенств (1) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого qвпределах от 0 до 1. В общем случае число таких проверок бесконечно. И, следовательно, действенный способ определения равновесной ситуации нужно искать где-то в ином месте.