Рішення рівнянь із параметрами (стр. 1 из 2)

Зміст

Введення

Рішення рівнянь із параметрами

Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями

Висновок

Література

Введення

Актуальність даної теми визначається необхідністю вміти вирішувати такі рівняння з параметрами при складанні незалежного оцінювання знань.

Ціль даної роботи розповісти про рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

дати визначення поняттям рівняння з параметрами;

показати принцип рішення даних рівнянь на загальних випадках;

показати рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.

Для виконання поставленої мети були використані наступні методи: використання літератури різного типу, робота в групах на уроках алгебри й заняттях елективного курсу по математиці, участь проектної групи в міській конференції по даній темі в 2008 році.

Об'єктом дослідницької роботи було рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями вище представлених функцій.

Структура даної роботи містить у собі теорію, практичну частину, висновок, бібліографічний список.

Рішення рівнянь із параметрами

рівняння параметр функція логарифмічна

Задачі з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури в школярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане з тим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються на єдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи.

Більшість посібників адресована абітурієнтам, однак починати знайомитися з подібними задачами потрібно набагато раніше - паралельно з відповідними розділами шкільної програми по математиці.

Якщо в рівнянні деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами, то вони називаються параметрами, а рівняння параметричним.

Природно, такий невеликий клас задач багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має як би двоїсту природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, - ступінь волі спілкування обмежується його невідомістю. Так, ділення на вираження, що містить параметр, добування кореня парного ступеня з подібних виражень вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих досліджень впливають і на рішення, і на відповідь.

Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного, навіть, якщо хочете, делікатного обігу з фіксованим, але невідомим числом. Цьому, на нашу думку, багато в чому будуть сприяти наші приклади.

Необхідність акуратного обігу з параметром добре видна на тих прикладах, де заміна параметра числом робить задачу банальної. До таких задач, наприклад, ставляться: зрівняти два числа, вирішити лінійне або квадратне рівняння, нерівність і т.д.

Звичайно в рівняння буквами позначають невідомі.

Вирішити рівняння - значить:

знайти множину значень невідомому, задовольняючому цьому рівнянню. Іноді рівняння, крім букв, що позначають невідоме (X, Y,Z), містять інші букви, називані параметрами(a, b, c). Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченною множиною рівнянь.

При одних значеннях параметрів рівняння не має корінь, при інших - має тільки один корінь, при третіх - два корені.

При рішенні таких рівнянь треба:

1) знайти множину всіх доступних значень параметрів;

2) перенести всі члени, що містять невідоме, у ліву частину рівняння, а всі члени, що не містять невідомого в праву;

3) привести подібні доданки;

4) вирішувати рівняння ax = b.

Можливо три випадки.

1. а

0, b – будь-яке дійсне число. Рівняння має єдине рішення х = .

2. а = 0, b = 0. Рівняння приймає вид: 0х = 0, рішеннями є всі х

R.

3. а = 0, b 0. Рівняння 0х = b

рішень не має.

Зробимо одне зауваження. Істотним етапом рішення рівнянь із параметрами є запис відповіді. Особливо це ставиться до тих прикладам, де рішення як би «гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відбити у відповіді всі етапи рішення.

У тільки що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення. Проте, я вважаю за доцільне привести відповідь.

Відповідь:

х =

при а 0, b – будь-яке дійсне число;

х - будь-яке число при а = 0, b = 0;

рішень немає при а = 0, b ? 0.

Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, тригонометричною й логарифмічною функціями

1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1} не має коренів?

Рішення: перетворимо задане рівняння: 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1}; 15·10 ^х + n· 10^{х + 1} = n + 20; 10 ^х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 ^х =

.

Рівняння не буде мати рішень при

≤ 0, оскільки 10 ^х завжди позитивно.

Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо:

≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.

Відповідь:

.

2. Знайдемо всі значення параметра а, при яких рівняння lg² (1 + х²) + (3а – 2)· lg(1 + х²) + а² = 0 не має рішень.

Рішення: позначимо lg(1 + х²) = z, z > 0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z² + (3а – 2) · z + а² = 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2)² – 4а² = 5а² – 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а² – 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2.

Відповідь: (0,4; 2).

3. Знайдемо найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння cos2x + asinx = 2a – 7 має рішення.

Рішення: перетворимо задане рівняння:

cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin²х – asinx = 2a – 7; sin²х -

asinx + a – 4 = 0;

(sinх – 2) ·

= 0.

Рішення рівняння (sinх – 2) ·

= 0 дає:

(sinх - 2) = 0; х належить порожній множині.

sinх -

= 0; х = (-1)ⁿ arcsin + πn, n Z при ≤ 1. Нерівність ≤ 1 має рішення 2 ≤ а ≤ 6, звідки треба, що найбільше ціле значення параметра а дорівнює 6.

Відповідь: 6.

4. Указати найбільше ціле значення параметра а, при якому корінь рівняння 4х² - 2х + а = 0 належить інтервалу (- 1; 1).

Рішення: корінь заданого рівняння рівні: х₁ =

(1+ )

х₂ =

, при цьому а ≤ .

За умовою -1 <

(1+ ) < 1 < < 3,

- 1 <

< 1 > > - 3.

Рішенням, що задовольняють зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 <

< 3.

Нерівність - 3 <

виконується при всіх а ≤ , нерівність < 3 – при - 2 < а ≤ . Таким чином, припустимі значення параметра а лежать в інтервалі (-2; .

Найбільше ціле значення параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і інтервалу (-1; 1), дорівнює 0.