Новый метод решения кубического уравнения (стр. 2 из 5)

- найти все варианты представления числа D₁₁ в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D₂₁ = А² + Б² + Д² и D₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д² .

Вариант D₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д² следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D₁₁ = 987539062500 = 250² ∙ 265² ∙ 15²

D₂₁ = 132950 = 250² + 265² + 15².

4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k₁ и k₂ . Совершая обратную операцию, получим

(2mn)₁₁ = 2.5, (2mn)₁₂ = - 2.5,

(2mn)₂₁ = 2.65, (2mn)₂₂ = - 2.65,

(2mn)₃₁ = 0.15, (2mn)₃₂ = - 0.15.

5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.13x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65)-> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X₁= 4 – это один из корней исходного уравнения!

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁= 4, и

кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)₁₁ = 2.5 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 2.5 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)₂₁ = 2.65 = (X₁ - X₃) -→ X₃ = X₁ – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁= 4, X₂= 1.5, X₃ = 1.35.

Расчет закончен !

Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D₁= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D₂= - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],

где

- (2mn)j- разность любой пары корней исходного уравнения

- D₁ = -

- D₂ = - 2( 3c – b² )

- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X₁ = g₁) и два сопряженных мнимых корня X₂ =( g₂ - hi), X₃ = ( g₂ + hi). Тогда

(2mn)₁ = ( X₁ - X₂) = (g₁ - g₂ ) + hi

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃) = (g₁ - g₂ ) – hi

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃) = g₂ - hi - g₂ – hi = - 2hi

-→ D₁= - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = - [(g₁ - g₂ ) + hi]² ∙ [(g₁ - g₂ ) - hi]² ∙ [2 hi]²

-→ D₁= [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h²

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D₁ = -

D₂ = - 2( 3c - b² )

определяются значения D₁ и D₂.

2. Определяются D₁ - как произведение двух квадратов

D₂- как удвоенная сумма двух квадратов.

3.Определяются значения g₁, g₂,h.

4. Определяются значения (2mn)₁₁, (2mn)₂₁, (2mn)₃₁

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2 + 73x – 265 = 0

гдеa =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значениеD₁ = -

-→D₁ = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→D₁ = [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h² = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙7² ∙ 58²

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h² . Тогда можно записать

h = 7, (g₁ - g₂ )² + h² = 58 -→ (g₁ - g₂ )² = 58 – 49 = 9 -→( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃-→ - ( - 9) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 9 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 9, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 9 -→ 3g₁ = 15 -→ g₁ = 5-→g₂ = 2.

-→ X₁ = 5, X₂ = 2 + 7i , X₃ = 2 – 7i

Расчет закончен !

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -30x2 + 322x – 1168 = 0

гдеa =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значениеD₁ = -

-→D₁ = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→D₁ = [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h² = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 5² ∙34²

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h² . Тогда можно записать

h = 5, (g₁ - g₂ )² + h² = 34 -→ (g₁ - g₂ )² = 34 – 25 = 9 -→( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃-→ - ( - 30) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 30 = g₁ + 2g_2.

4.Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 30, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= - 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 30 -→ 3g₁ = 24 -→ g₁ = 8-→g₂ = 11.

-→ X₁ = 8, X₂ = 11 + 5i , X₃ = 2 – 5i

Расчет закончен !

Новый метод решения кубических уравнений

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

- три корня имеют одинаковые действительные значения

- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X₁ = g + h, то X₂ = g – hили X₁ =

(g + h), то X₂ = (g – h), Наличие множителя обусловлено численным значением коэффициента b при X для X³ + bX² + cX + d = ( X – X₁)∙( X² + bX + c) = 0.

- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X₁ = g + ih, то X₂ = g – ih.

Первый случай – тривиальный . (x – a )³ = x³ – 3ax²+3a²x – a³= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

Три разных действительных корня

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X₁ = g₁) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g₁ ), то получим квадратное уравнение вида