Новый метод решения кубического уравнения (стр. 3 из 5)

[ X – (g₂ + h)]∙[ X – (g₂ - h)] = 0

-→ X² – 2g₂X + (g₂² – h²) = 0

-→ X₁ = g₁, X_2,3 = g₂ ± h -→ X₂ =( g₂ - h), X₃ = ( g₂ + h)

-→ (2mn)₁ = ( X₁ - X₂) = (g₁ - g₂ ) + h

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃) = (g₁ - g₂ ) – h

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃) = g₂ - h - g₂ – h = - 2h

-→ D₁ = - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = - [(g₁ - g₂ ) + h]² ∙ [(g₁ - g₂ ) - h]² ∙ [2h]²

-→ D₁= [(g₁ - g₂ )² - h² ]² ∙ 4h²(3)

-→ D₂ = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² + (2mn)₃² ] = - [(g₁ - g₂ ) + h]² + [(g₁ - g₂ ) - h]² + 4h²

→ D₂ = - [(g₁ - g₂ )² + 2(g₁ - g₂ )∙ h + h² + (g₁ - g₂ )² - 2(g₁ - g₂ )∙ h + h² + 4h²]

→ D₂ = - [ 2(g₁ - g₂ )² + 6h²] = - 2[(g₁ - g₂ )² +3h²] (8)

На основании формул системы mn параметров имеем

D₁ = -

(4)

D₂ = - 2( 3c - b² ), (5)

где b,c,d- коэффициенты исходного кубического уравнения.

Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X₁ = g₁) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2mn)_I = 0

При (2mn)_I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь

3x² + 2bx +с = 0 (6)

→ X₂ =( g₂ - h), X₃ = ( g₂ + h) → X₂ = X₃ = g₂

→ (2mn)₁ = ( X₁ - X₂) = (g₁ - g₂ )

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃) = (g₁ - g₂ )

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃) = g₂ - g₂ = 0

→ D₁= - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = 0

→ D₂ = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² + (2mn)₃² ] = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² ]

→ D₂ = 2 (2mn)₁² = 2 (g₁ - g₂ )² = - 2( 3c – b² ) = 2( b² – 3c )

→ (g₁ - g₂ )² = ( b² - 3c )

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b =X₁ + 2X₂

→ g₁ + 2g₂ = - b

Решая систему из двух уравнений будем иметь g₂ = -

→ X_11,12 = g_11,12=

[ - b ± ]

→ X_21,22 = g_21,22=

[ - b ± ]

Расчет закончен !

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -41x2 + 475x – 1083 = 0

гдеa =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083

1. X_11,12 = g_11,12 =

[ - b ± ] → X_11,12 = [ 41 ± ] = [ 41 ± ]

→ X₁₁ =

, X₁ = 3

X_21,22 = g_21,22 =

[ - b ± ] → g_21,22 = [ 41 ± ]= [ 41 ± ]

→ X₂₁ = 19, X₂₂ =

→ X₂ = X₃ = 19

Расчет закончен !

Вывод основных формул

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D₁ = -

2. Разделим

3. Представляем число

в виде произведения двух квадратов = [(g₁ - g₂ )² - h² ]² ∙ h².

4. Меньший множитель принимаем за h²→ [(g₁ - g₂ )² - h² ]² =

→ (g₁ - g₂ ) =

(6)

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X₁ + X₂ + X₃ ) → b = - (g₁ + g₂ - h + g₂ +h )

→ b = - ( g₁ + 2g₂ ) (7)

6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим

X₁ = g₁=

- b )

→ X₁₁ = g₁₁=

- b ) (8)

→ X₁₂ = g₁₂=

- b ) (9)

Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.

7.→ g₂ = -

→ g₂₁ = -

→ g₂₂ = -

8. Определяем два остальных корня

X₂₁ = g₂₁ + h

X₂₂ = g₂₂ + h

X₃₁ = g₂₁ – h

X₃₂ = g₂₂ – h

Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.

Задача решена!

Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -33x2 + 311x – 663 = 0

гдеa =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

Решение

1. Определяем значениеD₁ = -

-→D₁ = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D₁ = [(g₁ - g₂ )² - h² ]² ∙ 4h² = 313600 = 4∙4²∙7²∙10² = 4∙40²∙7² = 4∙70²∙4² = 4∙28²∙10²

313600 = 4∙140²∙2² = 4∙7²∙40² = 4∙5²∙56²

-→

= 40²∙7² = 70²∙4² = 28²∙10² = 140²∙2² =5²∙56²

2. Пусть h₁²= 7²

→ X₁ = g₁₁=

- b ) = - b) =

→ g₁₁ =X₁₁ = 13, X₁₂ = 9.

→ g₂₁ = -

= - = 10

→ X_2,3 = g₂₁ + h₁ = 10 ± 7 → X₂ = 17, X₃ = 3

Задача решена!

Неприводимый случай формулы Кардана

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X₁ = g₁) и два мнимых сопряженных корня

X₂ =( g₂ - ih), X₃ = ( g₂ + ih).

-→ (2mn)₁ = ( X₁ - X₂) = (g₁ - g₂ ) +ih

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃) = (g₁ - g₂ ) – ih

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃) = g₂ - ih - g₂ – ih = - 2ih

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.