Новый метод решения кубического уравнения (стр. 4 из 5)
1. Определяем значение D1 = -
2. Разделим
3. Представляем число
в виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ h2.4. Меньший множитель принимаем за h2→ [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 =
→ (g1 - g2 ) =
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )
→ b = - ( g1 + 2g2 )
6. X1 = g1=
- b )→ X11 = g11=
- b )→ X12 = g12=
- b )7.→ g2 = -
→ g21 = -
→ g22 = -
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -6x2 + 58x – 200 = 0
гдеa =1, b = - 6, c = 58, d = - 200
Решение
1. Определяем значениеD1 = -
-→D1 = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344
-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292 = 4∙72∙582 = 4∙22∙2032
-→
= 2032∙22 = 582∙72 = 292∙142Пусть h12= 72
→ X1 = g11=
- b ) = 
+ 6) = 
= 4→ X1 = 4
→ g21 = -
= - 
= 1→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2 = 1 - 7i, X3 = 1 + 7i
Задачарешена!
Пример 10 Дано уравнение
x3 -6x2 + 21x – 52 = 0
где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значениеD1 = -
-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168
→ D1 =[(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 21168 = 4∙22∙72 ∙
= 4∙142∙ = 4∙ 
→ D1 =
Пусть h12=
→ X1 = g11=
- b ) = 
+ 6) = = 4→ X1 = 4
→ g21 = -
= - = 1→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i
→ X2 = 1 + 2i 
, X3 = 1 - 2i Сравните метод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Вывод новых формул
Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2mn)2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0
Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим
(2mn)2 + ( 3xi + b )(2mn) + 3xi2 + 2bxi +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x3 + b )(2mn) + 3x32 + 2bx3 +с = 0
Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2mn)Iобязательно найдется отрицательное значение (2mn)j. Поэтому общая сумма всех корней вида (2mn) будет равна нулю.
→ ( 3x1 + b ) + ( 3x2 + b ) + ( 3x3 + b ) = 0 → 3( x1 + x2 + x3 ) = - 3 b
→ ( x1 + x2 + x3 ) = - b.
Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотрим любых два уравнения, например,
→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0
(2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0.
Здесь в качестве свободных членов имеем 3x12 + 2bx1 +с и 3x22 + 2bx2 +с. Их сумма равна
→ Σ = 3(x12 + 3x22) + 2b(x1 + x2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x12 +x22) + 2b( x1 + x2 ) + 2 с = ( x1 - x2 )2
→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0
Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь
→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0
→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0
→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0
Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
В общем случае эта формула имеет вид
( xi + xj)2 + b( xi + xj ) + с - xi∙ xj= 0 ( 10 )
Пример 11 Проверить формулу ( 10 )
x3 -20x2+ 113x - 154 = 0
где a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Здесь X1= 7, X2= 2, X3 = 11.
→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2= 0
→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11= 0