Новый метод решения кубического уравнения (стр. 1 из 5)

Автор: Фильчев Э.Г.

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2mn)² + ( 3x + b )(2mn) + 3x² + 2bx +с = 0 ( 1 )

где

x- любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

(2mn)⁶ +2( 3c – b² )(2mn)⁴+(3c – b² )²(2mn)² + [ 4( 3c – b² )³ + ( 2b³ – 9bc + 27d )²]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)_j- разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D₁= -

= - (2mn)₁² ∙( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃²

2. Определяем значение

D₂ = - 2( 3c – b² ) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

- и если при этом выполняется равенство D₁ = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.

3. Определяем значение корней исходного уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)2( 2mn)3

Задача решена !

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2+ 23x - 15 = 0

гдеa =1, b = - 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значениеD₁ = = -

-→ D₁ = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2.Определяем значение D₂= - 2(3c - )

-→ D₂ = - 2( 3∙23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)₁ = 2, (2mn)₂ = 4, (2mn)₃ = 2.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.13x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.23x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X₁ = 3 + 2 = 5 , X₂ = 3 - 2 = 1

Здесь X₁ = 5 - одно из решений исходного уравнения.

Здесь X₂ = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X₂ = 3

Здесь X= 3 - последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2-→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!

Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -20x2+ 113x - 154 = 0

гдеa =1, b = - 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значениеD₁ = -

-→D₁ = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400

2.Определяем значение D₂ = - 2(3c - )

-→ D₂ = - 2( - 400 ) = 122 = 3² + 7² + 8² = 4² + 5² + 9²

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D₁ = 32400.

2.1 3² ∙ 7² ∙ 8² = 28224 ≠ 32400

2.2 4² ∙ 5² ∙ 9² = 32400 . Этот вариант подходит!

-→ (2mn)₁₁ = 4, (2mn)₁₂ = - 4,

(2mn)₂₁ = 5, (2mn)₂₂ = - 5,

(2mn)₃₁ = 9, (2mn)₃₂ = - 9.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.13x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5-> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X₁= 7,X₂ =

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁= 7, и кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)₁₁ = 4 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 4 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)₂₁ = 5 = (X₂ - X₃) -→ X₃ = X₂ - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X₁= 7, X₂= 2, X₃ = 11.

Расчет закончен !

Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -10x2 - 49x + 130 = 0

гдеa =1, b = - 10, c = - 49, d = 130

Решение

1. Определяем значениеD₁ = -

-→D₁ = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2.Определяем значение D₂ = - 2( 3c - )

-→ D₂ = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 1² + 3² + 22² = 2² + 7² + 21² = 7² + 11² + 18²

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 7² ∙ 11²

18² = 1920996

-→ (2mn)₁₁ = 7, (2mn)₁₂ = - 7,

(2mn)₂₁ = 11, (2mn)₂₂ = - 11,

(2mn)₃₁ = 18, (2mn)₃₂ = - 18.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.13x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11-> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.23x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X₁ =

, X₂= 2 – это один из корней исходного уравнения!

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁= 2, и кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)₁₁ = 7 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ – 7 = 2 – 7 = - 5. Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 7 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)₂₁ = 11 = (X₁ - X₃) -→ X₃ = X₁ - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)₂₁ = -11 = (X₁ - X₃) -→ X₃ = X₁ + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁= 2, X₂= - 5, X₃ = 13.

Расчет закончен !

Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

гдеa =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значениеD₁ = -

-→D₁ = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→D₁ = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2.Определяем значение D₂ = - 2( 3c - )

-→ D₂ = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D₁ и D₂ . Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10^k .

При этом значение степени k должно определяться

- для D₂ числом знаков в мантиссе ( для данного примера k₂ = 4 )

- для D₁ =3∙ (число знаков в мантиссе для D₂ ). -→ k₁ = 3∙ k₂ ( для данного примера k₁ = 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D₁₁ = 987539062500

- D₂₁ = 132950.

3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D₂₁ = А² + Б² + Д² и D₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д² .

Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D₂₁ в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D₂₁ = А² + Б² + Д² и D₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д² .