Малюнок 5
Таким чином 3 - період функції
, те 
, тоді рівняння (7) прикмет вид 
, розглянемо два випадки.1) нехай
, тобто 
, тоді рівняння прийме вид: 
, значить 
і виходить 
, 
2) нехай
те 
, тоді 
рівняння прийме вид: 
; отже 
, 
таким чином
, 
.Відповідь:
.2.4 Використання парності функції
Функція f (x) називається парної, якщо для кожного
виконуються рівності:1)
,2) f (–x) = f (x).
Графік парної функції на всій області визначення симетричний щодо осі OY. Прикладами парних функцій можуть служити y = cos x, y = |x|, y = x2 + |x|
Графік парної функції
Функція f (x) називається непарної, якщо для кожного
виконуються рівності:1)
,2) f (–x) = –f (x).
Іншими словами функція називається непарної, якщо її графік на всій області визначення симетричні відносно початку координат. Прикладами непарних функцій є y = sin x, y = x3.
Графік непарної функції
Не слід думати, що будь-яка функція є або парної, або непарної. Так, функція
не є ні парної, ні непарної, тому що її область визначення 
несиметрична відносно початку координат. Область визначення функції y = x3 + 1 охоплює всю числову вісь і тому симетрично відносно початку координат, однак f (–1) ≠ f (1). А це значить, що функція не є ні парної, ні непарної, тобто є функцією загального виду (ФЗВ).Якщо область визначення функції симетрична відносно початки координат, то цю функцію можна представити у вигляді суми парної й непарної функцій.
Такою сумою є функція
Перший доданок є парною функцією, друге - непарної.
Порівняльна ілюстрація функцій різної парності зображена на малюнку 6
Малюнок 6
Дослідження функцій на парність полегшується наступними твердженнями.
Сума парних (непарних) функцій є парною (непарної) функцією.
Добуток двох парних або двох непарних функцій є парною функцією.
Добуток парної й непарної функції є непарною функцією.
Якщо функція f парна (непарна), то й функція 1/f парна (непарна).
Приклад 2.4.1 чи Може при якому-небудь значенні а рівняння
2x8 – 3аx6 + 4x4 – аx2 = 5
мати 5 корінь?
Рішення. Позначимо f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2. f(x) – функція парна, тому, якщо x0 – корінь даного рівняння, те -x0 – теж. x = 0 не є коренем даного рівняння (0 ? 5). Отже, число корінь у цього рівняння при будь-якому дійсному а парне, тому 5 корінь воно мати не може.
Відповідь: не може.
2.5 Використання ОПЗ функції
Область визначення функції - це множина всіх припустимих дійсних значень аргументу x (змінної x), при яких функція
визначена. Область визначення іноді ще називають областю припустимих значень функції (ОПЗ). Для знаходження ОПЗ функції потрібно проаналізувати дану відповідність і встановити заборонні операції, що зустрічаються (ділення на нуль, піднесення в раціональний ступінь негативного числа, логарифмічні операції над негативними числами й т.п.).Іноді знання ОПЗ дозволяє довести, що рівняння (або нерівність) не має рішень, а іноді дозволяє знайти рішення рівняння (або нерівності) безпосередньою підстановкою чисел з ОПЗ.
Приклад 2.5.1 Вирішите рівняння
. (8)Рішення. ОПЗ цього рівняння складається із всіх х, одночасно задовольняючим умовам
і 
, тобто ОПЗ є порожня множина. Цим рішення рівняння й завершується, тому що встановлено, що жодне число не може бути рішенням, тобто що рівняння не має корінь.Відповідь: O.
Приклад 2.5.2 Вирішите рівняння
. (9)Рішення. ОПЗ цього рівняння складається із всіх x, одночасно задовольняючим умовам
, 
, 
, тобто ОПЗ є 
. Підставляючи ці значення х у рівняння (9), одержуємо, що його ліва й права частини рівно 0, а це означає, що всі , є його рішеннями.Відповідь:
Приклад 2.5.3 Вирішите нерівність
. (10)Рішення. ОПЗ нерівності (10) є всі х, що задовольняють умові
. Ясно, що х = 1 не є рішенням нерівності (10). Для х із проміжку 
маємо 
, а 
. Отже, всі х із проміжку є рішеннями нерівності (10).Відповідь:
.Приклад 2.5.4 [26] Вирішите нерівність
. (11)Рішення. ОПЗ нерівності (11) є всі х із проміжку
. Розіб'ємо цю множину на два проміжки 
й 
.Для х із проміжку
маємо 
, 
. Отже, 
на цьому проміжку, і тому нерівність (11) не має рішень на цьому проміжку.Нехай х належить проміжку
, тоді 
й 
. Отже, 
для таких х, і, виходить, на цьому проміжку нерівність (11) також не має рішень.
(7)
на множині [0;3) зображений на малюнку 3: