Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей. (стр. 5 из 6)
Отже, нерівність (11) рішень не має.
Відповідь: O.
3 ДЕЯКІ ШТУЧНІ СПОСОБИ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ
Існують і інші нестандартні методи рішення рівнянь і нерівностей, крім використання властивостей функції. Дана глава присвячена додатковим методам рішення.
3.1 Множення рівняння на функцію
Іноді рішення алгебраїчного рівняння істотно полегшується, якщо помножити обидві його частини на деяку функцію - багаточлен від невідомої. При цьому треба пам'ятати, що можливо появу зайвих корінь - корінь багаточлена, на який множили рівняння. Тому треба або множити на багаточлен, що не має корінь, і одержувати рівносильне рівняння, або множити на багаточлен, що має корінь, і тоді кожний з таких корінь треба обов'язково підставити у вихідне рівняння й установити, чи є це число його коренем.
Приклад 3.1.1 Вирішите рівняння
. (1)Рішення. Помноживши обидві частини рівняння на багаточлен
, що не має корінь, одержимо рівняння 
, (2)рівносильне рівнянню (1). Рівняння (2) можна записати у вигляді
. (3)Ясно, що рівняння (3) не має дійсних корінь, тому й рівняння (1) їх не має.
Відповідь: O.
Приклад 3.1.2 [19] Вирішите рівняння
. (4)Рішення. Помноживши обидві частини цього рівняння на багаточлен
, одержимо рівняння 
, (5)Є наслідком рівняння (4), тому що рівняння (5) має корінь
, що не є коренем рівняння (4).Рівняння (5) є симетричне рівняння четвертого ступеня. Оскільки
не є коренем рівняння (5), те, розділивши обидві його частини на 
й перегрупувавши його члени, одержимо рівняння 
(6)рівносильне рівнянню (5). Позначивши
, перепишемо рівняння (6) у вигляді 
. (7)Рівняння (7) має два корені:
і 
. Тому рівняння (6) рівносильне сукупності рівнянь 
и. 
Вирішивши кожне із цих рівнянь, знайдемо чотири корені рівняння (6), а тим самим і рівняння (5):
, 
, 
, 
Тому що корінь
є стороннім для рівняння (4), те звідси одержуємо, що рівняння (4) має три корені: x1, x2, x3.Відповідь:
3.2 Угадування кореня рівняння
Іноді зовнішній вигляд рівняння підказує, яке число є коренем рівняння.
Приклад 3.2.1 Вирішите рівняння
. (8)Рішення. Перепишемо рівняння (8) у вигляді:
. (9)Із зовнішнього вигляду цього рівняння очевидно, що х = 12 є його корінь. Для знаходження інших корінь перетворимо багаточлен
Тому що багаточлен
не має корінь, те вихідне рівняння має єдиний корінь х = 12.Відповідь: {12}.
Приклад 3.2.2. Вирішите рівняння
(10)Рішення. Легко помітити, що
і 
є рішеннями цього рівняння. Після розкриття дужок це рівняння перепишеться як квадратне. А це означає, що воно може мати не більше двох корінь. Тому що два корені цього рівняння знайдені, те тим самим воно й вирішено.Відповідь:
3.3 Використання симетричності рівняння
Іноді зовнішній вигляд рівняння - деяка його симетричність - підказує спосіб рішення рівняння.
Приклад 3.3.1 Вирішите рівняння
. (11)Рішення. Очевидно, що зовнішній вигляд рівняння підказує, що одне з корінь рівняння (11) є
. Однак знайти інших корінь цього рівняння тут не так просто. Перепишемо рівняння (11) у трохи іншому виді.Оскільки справедливі тотожні рівності
,те рівняння (11) можна переписати так:
. (12)Тепер очевидно, що якщо
― корінь рівняння (12), те 
також корінь рівняння (12), оскільки 
. (13)Покажемо, що якщо
, є корінь рівняння (11), те 
також є корінь цього рівняння.Дійсно, тому що
те звідси й випливає це твердження.
Отже, якщо
, ― корінь рівняння (11), те воно має ще коріння 
, 
, 
, 
,т. е. рівняння (11) має корінь
, 
, 
, 
, 
, 
.Оскільки рівняння (11) є алгебраїчне рівняння шостого ступеня, то воно має не більше шести корінь. Таким чином, ми знайшли всі коріння рівняння (11).
Відповідь:
3.4 Дослідження рівняння на проміжках дійсної осі
Іноді рішення рівняння можна знайти, досліджуючи його на різних числових проміжках.
Приклад 3.4.1 Вирішите рівняння
. (14)Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді
або, використовуючи формулу різниці 
, (15)у вигляді
. (16)Звідси видно, що одне з корінь даного рівняння є
. Доведемо, що рівняння 
(17)рішень не має.
Розіб'ємо числову вісь на проміжки
Для будь-якого x із проміжку
маємо, що ліва частина рівняння (17) позитивна, тому на цьому проміжку рівняння рішень не має.Оскільки
,