Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 10 из 13)

F(

1) F( 1, ,z) і F( 1) F( , 1,z)

Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій.

(

- -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=

=

{( - -1) + -( -1) }z^k=

=

{ - -1+ ( +k)- ( +k-1)} z^k=

=

{ - -1+ +k- -k+1)} z^k=0

F- F( -1)-zF( +1)=

=

{ - - } z^k=

=

{ ( +k-1)- ( -1)-k } z^k=

=

{ + k- - - -k } z^k=0.

Повторне застосування рекурентних формул приводить до лінійних співвідношень, що зв'язують функцію F(

, ,z) з родинними функціями F( +m, +n,z), де m,n- задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:

F(

, ,z) = F( +1, ,z)- F( +1, +1,z) (4.12)

F(

, ,z)= F( , +1,z) + F( +1, +1,z) (4.13)

4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду

Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння

z

+( -z) - u=0 (5.1)

де

0,-1,-2,…

u=F(

, ,z)= z^k

= z^k-1

= z^k-2

Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і полога u=

= F( , ,z), маємо

l(

) = z^k-2+( -z) z^k-1- z^k=