Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 12 из 13)

n=0,1,2,…

Виконавши обчислення, знаходимо:

= [ ],

= [ ]+

+

,

звідки для G(

,n+1,z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6)

G(

,n+1,z)= [ ]+

+

,

n=0,1,2,…,

0,-1,-2,…,

Тут

- логарифмічна похідна Г-Функція, і для випадку n=0 порожня сума приймається рівної 0.

Якщо

=-m (m=0,1,2,…),те граничний перехід n+1 (n=0,1,2…)у формулі (5.3) приводить до вираження

G(-m,n+1,z)=

F(-m,n+1,z), (5.7)

m=0,1,2,... , n=0,1,2,...

З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню

G(

, ,z)= G( - +1,2- ,z), (5.8)

На підставі цієї формули можна визначити функцію G(

, ,z) при , рівному нулю або цілому негативному числу, за допомогою рівності

G(

,1-n,z)= G( , ,z)= zⁿ G( +n,n+1,z) (5.9)

n=1,2,…,

Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях її параметрів. З донного визначення випливає, що G(

, ,z) регулярна функція від z у площині з розрізом (- ,0) і ціла функція й .

Покажемо, що функція G(

, ,z) є рішенням диференціального рівняння (5.1).

При

0, 1, 2,…доказ треба безпосередньо з (5.3). Для цілих необхідний результат може бути обґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.

Якщо

0, 1, 2,…інтеграли F( , ,z) і G( , ,z) лінійно незалежні між собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень.

З (5.1) треба W{F,G}=C

e^z. Порівнюючи обидві частини цієї рівності при z 0, знаходимо

C=

W{ F(

, ,z),G( , ,z)}= - e^z (5.10)

0, -1, -2,…,

Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку може бути представлений у формі

u = AF(

, ,z)+BG( , ,z) (5.11)

, 0, -1, -2,…,

Функція G(

, ,z) володіє рядом властивостей, аналогічних властивостям функції F( , ,z). Так, наприклад, мають місце формули диференціювання:

G( , ,z)= - G( +1, +1,z)

G( , ,z)= (-1)^m G( +m, +m,z) (5.12)