Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 6 из 13)

(

- )( +k-1)( -1)}z^k=0.

Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F(

, , ,z) з який – або парою родинних функцій виду F( +1, +m, +n,z), де l,m,n – довільні цілі числа.

Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є

F(

, , ,z)-F( , , -1,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.12)

F(

, +1, ,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.13)

F(

, +1, +1,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +2,z)(2.14)

F(

-1, +1, ,z)- F( , , ,z)= F( , +1, +1,z) (2.15)

До даного класу ставляться також рівність (1.6)

Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.

1.3 Гіпергеометричне рівняння

Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F(

, , ,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння

z(1-z)

+[ -( + +1)] - u=0 (2.16)

регулярним в околиці крапки z=0.

Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.

Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0<

<1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів , , .

Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду

u=z^s

z^k (2.17)

де s – належне обране число,

0, статечної ряд сходиться при <1

u=

z^k+s

= (k+s)z^k+s-1

= (k+s)(k+s-1)z^k+s-2

Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо

z(1-z)

( z^k+s +[ -( + +1)z] ( z^k+s - z^k+s=0,

z(1-z)

( z^k+s-1(k+s)(k+s-1))+[ -( + +1)z] ( z^k+s-1(k+s))-