Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 9 из 13)

сходиться при будь-яких кінцевих z.

Тому що, якщо позначити через

загальний член ряду, те

= 0, коли k .

Вироджена гіпергеометрична функція F(

, ,z) визначається як сума розглянутого ряду

F(

, ,z)= , 0,-1,-2,…, < (4.1)

З даного визначення випливає, що F(

, ,z) функція комплексного змінного z.

Якщо покласти

f(

, ,z)= F( , ,z)= , (4.2)

те f(

, ,z) при фіксованому z буде цілою функцією від і . Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <A, <C.

Думаючи

, маємо для досить більших k

=

Звідси треба, що при заданому z функція F(

, ,z)

представляє цілуюфункцію

й мероморфну функцію із простими полюсами в крапках =0,-1,-2,…

Функція F(

, ,z) досить часто зустрічається в аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.

Зв'язок функції F(

, ,z) з гіпергеометричною функцією дається співвідношенням

F( , ,z)=lim F( , , , ) (4.3)

З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності

F( , ,z)= F( +1, +1,z) (4.4)

F( , ,z)= F( +m, +m,z) m=1,2,... (4.5)

і рекурентні співвідношення

(

- -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=0 (4.6)

F- F( -1)-zF( +1)=0 (4.7)

(

-1+z)F+( - )F( -1)-( -1)F( -1)=0 (4.8)

( +z)F- F( +1)-( - )zF( +1)=0 (4.9)

(

- )F( -1)+(2 - +z)F- F( +1)=0 (4.10)

( -1)F( -1)- ( -1+z)F+( - )zF( +1)=0 (4.11)

єднальну функцію F

F( , ,z) із двома будь-якими суміжними функціями