Единое пересечение кривых в пространстве (стр. 2 из 3)
т. е. множество всех точек М=(х,у) комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению (6). Предположим, что множество С совпадает с множеством всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению
F(x, y) = b11x2+ 2b12xy + b22y2 + 2b1x + 2b2y + b0 = 0 (7)
Вспомним, что неасимптотические направления {α : β} по отношению к кривой (6) характеризуются тем, что имеется прямая данного направления {α : β} имеющая с множеством С ровно две (различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимптотическое для одной из двух кривых (6) и (7), будет неасимптотическим и для другой кривой.
Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направление {α : β} для кривых (6) и (7).
Одну из прямых dнаправления {α : β} примем за ось ординат, а диаметр, сопряженный направлению {α : β}, — за ось абсцисс координатной системы О'х'у'. Из результатов предыдущего параграфа следует, что уравнения (3), (6) получат в системе координат О'х'у'
вид
F′(x′, y′) = а′22у′ 2 + а′11х′ 2 + 2а′1x′ + а′0 =0 (8)
F′(x′, y′) = b′22y′ 2 + b′11x′ 2 + 2b′1y′ + b′0 = 0 (9)
Здесь a′22≠0 (и b′22≠0 ), в противном случае единичный вектор {0, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению
φ′ (x′, y′) =а′11х′ 2 + а′22у′ 2 = 0,
имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. Пересечение множества С с осью у' = 0 обозначим через C0. Возможны следующие случаи:
1° Множество С0 пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из
f(x') =a′11x′ 2+2a′1x′+a′0= 0
f(x') =b′11x′ 2+2b′1x′+b′0= 0
противоречиво, т. е.
Множество C0пусто
Сногочленовf(x'), f(x') тождественно равен отличной от нуля постояннойа'0, соответственно b′0.
2° Множество С0 совпадает со всей прямой у' = 0. Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f(x'), f(x') тождественно равен нулю.
Множество C0совпадает с прямой y′o′
3° Ни одни из случаев 10, 20 не имеет места. Тогда множество С0 состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек, являющихся парой корней как уравнения
a′11x′ 2+2a′1x′+a′0= 0 (10)
так и уравнения
b′11x′ 2+2b′1x′+b′0= 0 (11)
Множество C0 состоит из одной точки А
Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, то при некоторомμ ≠ 0 имеем
b′11x′ 2+2b′1x′+b′0 =μ(a′11x′ 2+2a′1x′+a′0)
и, значит, полагая λ=b′22:a′22, имеем
F′(x′, y′) = а′22у′ 2 + (а′11х′ 2 + 2а′1x′ + а′0),
F′(x′, y′) = λb′22y′ 2 + μ(b′11x′ 2 + 2b′1y′ + b′0)
Докажем, что λ=μ. Для этого дадим переменному х' значение x′=x′1, являющаяся корнем уравнения
а′11х′ 2 + 2а′1x′ + а′0=1
и найдем значение y′, удовлетворяющее уравнению
F′(x′1, y′) = а′22у′ 2 + 1 = 0
т. е. y′1= ± ( - 1 : a′22 )0,5.
Значит, точка (x′1, y′1 ) принадлежит множеству С; следовательно,
F′(x′1, y′1) = λа′22у′ 2 + μ · 1= λа′22( - 1 : a′22)+ μ = 0
т. е. λ=μ, и F′(x′, y′)=λF′(x′, y′), значит, и
F(x, y)=λF(x, y).
Итак, в случае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем
F′(x′, y′)= а′22у′ 2, а′22≠0, F′(x′, y′)=b′22у′ 2, b′22≠0.
Полагая λ= b′22: a′22, получим F′(x′, y′)= F′(x′, y′) —утверждение теоремы верно и в этом случае.
Наконец, в случае 1° уравнения (8) и (9) принимают вид
F′(x′, y′) = а′22у′ 2 + a′0=0, a′0≠0,
F′(x′, y′) = b′22у′ 2 + b′0=0 b′0≠0
— множество С есть пара прямых, определенная каждым из уравнений
y′=±(-(a′0 : a′22)0,5) или y′=±(-(b′0 :b′22)0,5).
Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было
(a′0 : a′22)=( b′0 : b′22), т.е. b′22=λa′22, b′0=λa′0 приλ=( b′22: a′22).
Теорема доказана во всех случаях.
3 Пучок кривых второго порядка
Пусть M1, M2, M3, M4, — четыре точки, не лежащие на одной прямой. Задавая по произволу еще одну точку M5 (не коллинеарную никаким трем из точек M1, M2, M3, M4, получим, по теореме 1, единственную кривую второго порядка, проходящую через точки M1, M2, M3, M4, и точку M5 .
Поэтому множество всех кривых второго порядка, проходящих через четыре точки M1, M2, M3, M4, бесконечно. Это множество кривых называется пучком кривых второго порядка, определяемым точками M1, M2, M3, M4.
Будем обозначать кривую той же буквой F, которой обозначена левая часть F(x, у) ее уравнения (1), так что F и λF при любом λ≠0 — это одна и та же кривая. Если
F (х, y) = λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y),
то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами λ1 и λ2) кривых F1 и F2. Если кривые F1 и F2 принадлежат пучку, определяемому точками Mi = (xi, yi)(i = l, 2, 3, 4), то уравнения F1(x, у)=0 и F2(x, у)=0 удовлетворяются, если в них подставить значения х = xi, у = yiпри любых i = l, 2, 3, 4. Но тогда и уравнение λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 будет при х = xi, у = yiудовлетворяться. Другими словами, всякая кривая, являющаяся линейной комбинацией двух (или более) кривых, принадлежащих данному пучку, принадлежит этому пучку. Докажем обратное предложение. Пусть в пучке кривых второго порядка выбраны две определенные кривые F1 и F2. Тогда всякая кривая F данного пучка есть линейная комбинация этих двух кривых F1 и F2.
Пусть пучок определен четверкой точек M1, M2, M3, M4. Возьмем на кривой F какую-нибудь точку M5, не коллинеарную ни с какими тремя из точек M1, M2, M3, M4. Кривая F есть единственная кривая второго порядка, проходящая через точки M1, M2, M3, M4, M5. Поэтому для доказательства сделанного утверждения достаточно найти такую линейную комбинацию λ1F1 + λ2F2 чтобы кривая
λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 (12)
проходила через точку M5 = (х5, у5), т. е. достаточно определить λ1 и λ2, вернее, их отношение λ1:λ2, из условия
λ1F1(х5, у5) + λ2F2(х5, у5), (13)
Итак, любой пучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудь кривые F1 и F2 из этого пучка: он состоит из всех кривых, являющихся линейными комбинациями λ1F1 + λ2F2 двух данных. Все эти кривые определяются значениями одного параметра— отношением λ = λ1:λ2 двух коэффициентов в линейной комбинации λ1F1 + λ2F2. Другими словами, пучок кривых второго порядка является одномерным многообразием кривых — совершенно в том же смысле, в каком пучок прямых является одномерным многообразием прямых (а пучок плоскостей —
 |
одномерным многообразием плоскостей).
Понятие пучка кривых позволяет очень просто найти уравнение кривой второго порядка, проходящей через заданные пять точек M1, M2, M3, M4, M5. В самом деле, возьмем четыре точки из числа данных пяти, например M1, M2, M3, M4.