Методы математической статистики (стр. 1 из 3)

Методы математической статистики

1. Введение

Математической статистикой называется наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.

В математической статистике можно выделить два направления: описательную статистику и индуктивную статистику (статистический вывод). Описательная статистика занимается накоплением, систематизацией и представлением опытных данных в удобной форме. Индуктивная статистика на основе этих данных позволяет сделать определенные выводы относительно объектов, о которых собраны данные, или оценки их параметров.

Типичными направлениями математической статистики являются:

1) теория выборок;

2) теория оценок;

3) проверка статистических гипотез;

4) регрессионный анализ;

5) дисперсионный анализ.

В основе математической статистики лежит ряд исходных понятий без которых невозможно изучение современных методов обработки опытных данных. В ряд первых из них можно поставить понятие генеральной совокупности и выборки.

При массовом промышленном производстве часто нужно без проверки каждого выпускаемого изделия установить, соответствует ли качество продукции стандартам. Так как количество выпускаемой продукции очень велико или проверка продукции связана с приведением ее в негодность, то проверяется небольшое количество изделий. На основе этой проверки нужно дать заключение о всей серии изделий. Конечно нельзя утверждать, что все транзисторы из партии в 1 млн. штук годны или негодны, проверив один из них. С другой стороны, поскольку процесс отбора образцов для испытаний и сами испытания могут оказаться длительными по времени и привести к большим затратам, то объем проверки изделий должен быть таким, чтобы он смог дать достоверное представление о всей партии изделий, будучи минимальных размеров. С этой целью введем ряд понятий.

Вся совокупность изучаемых объектов или экспериментальных данных называется генеральной совокупностью. Будем обозначать через N число объектов или количество данных, составляющих генеральную совокупность. Величину N называют объемом генеральной совокупности. Если N>>1, то есть N очень велико, то обычно считают N = ¥.

Случайной выборкой или просто выборкой называют часть генеральной совокупности, наугад отобранную из нее. Слово "наугад" означает, что вероятности выбора любого объекта из генеральной совокупности одинакова. Это важное предположение, однако, часто трудно это проверить на практике.

Объемом выборки называют число объектов или количество данных, составляющих выборку, и обозначают n. В дальнейшем будем считать, что элементам выборки можно приписать соответственно числовые значения х₁, х₂, ... х_n. Например, в процессе контроля качества производимых биполярных транзисторов это могут быть измерения их коэффициента усиления по постоянному току.

2. Числовые характеристики выборки

2.1 Выборочное среднее

Для конкретной выборки объема n ее выборочное среднее

определяется соотношением

где х_i – значение элементов выборки. Обычно требуется описать статистические свойства произвольных случайных выборок, а не одной из них. Это значит, что рассматривается математическая модель, которая предполагает достаточно большое количество выборок объема n. В этом случае элементы выборки рассматриваются как случайные величины Х_i, принимающие значения х_i с плотностью вероятностей f(x), являющейся плотностью вероятностей генеральной совокупности. Тогда выборочное среднее также является случайной величиной

равной

Как и ранее будем обозначать случайные величины прописными буквами, а значения случайных величин – строчными.

Среднее значение генеральной совокупности, из которой производится выборка, будем называть генеральным средним и обозначать m_x. Можно ожидать, что если объем выборки значителен, то выборочное среднее не будет заметно отличаться от генерального среднего. Поскольку выборочное среднее является случайной величиной, для нее можно найти математическое ожидание:

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно генеральному среднему. В этом случае говорят, что выборочное среднее является несмещенной оценкой генерального среднего. В дальнейшем мы вернемся к этому термину. Так как выборочное среднее является случайной величиной, флуктуирующей вокруг генерального среднего, то желательно оценить эту флуктуацию с помощью дисперсии выборочного среднего. Рассмотрим выборку, объем которой n значительно меньше объема генеральной совокупности N (n << N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

Случайные величины Х_i и X_j (i¹j) можно считать независимыми, следовательно,

Подставим полученный результат в формулу для дисперсии:

где s² – дисперсия генеральной совокупности.

Из этой формулы следует, что с увеличением объема выборки флуктуации среднего выборочного около среднего генерального уменьшаются как s²/n. Проиллюстрируем сказанное примером. Пусть имеется случайный сигнал с математическим ожиданием и дисперсией соответственно равными m_x = 10, s² = 9.

Отсчеты сигнала берутся в равноотстоящие моменты времени t₁, t₂, ... ,

X(t)

X₁

t₁ t₂ . . . t_n t

Так как отсчеты являются случайными величинами, то будем их обозначать X(t₁), X(t₂), . . . , X(t_n).

Определим количество отсчетов, чтобы среднее квадратическое отклонение оценки математического ожидания сигнала не превысило 1% его математического ожидания. Поскольку m_x = 10, то нужно, чтобы

С другой стороны поэтому или Отсюда получаем, что n ³ 900 отсчетов.

2.2 Выборочная дисперсия

По выборочным данным важно знать не только выборочное среднее, но и разброс выборочных значений около выборочного среднего. Если выборочное среднее является оценкой генерального среднего, то выборочная дисперсия должна быть оценкой генеральной дисперсии. Выборочная дисперсия

для выборки, состоящей из случайных величин определяется следующим образом

Используя это представление выборочной дисперсии, найдем ее математическое ожидание

Таким образом мы получили, что

Это значит, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Чтобы получить несмещенную оценку, нужно величину умножить на тогда выборочная дисперсия имеет вид

Итак мы получили следующий результат. Если в результате n независимых измерений случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией нам нужно по полученным данным определить эти параметры, то следует пользоваться следующими приближенными оценками

В случае, если известно математическое ожидание генеральной совокупности m_x, то выборочную дисперсию следует вычислять по формуле

которая также является несмещенной оценкой.