Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів (стр. 2 из 5)

Нелінійний множник

виключається за правилом:

.

5. На числовій осі відмітимо точки, в яких обертаються в нуль всі множники, що стоять в чисельнику і знаменнику лівої частини нерівності, отриманої в результаті виконання пунктів «1» - «4». При цьому, якщо нерівність нестрога, точки, які відповідають множникам чисельника будемо визначати зафарбованими кружками, а точки, що відповідають множникам знаменника світлими. Якщо нерівність строга, всі точки відмічаються світлими кружками.

6. Поставити знаки в кожному проміжку, на якій числова вісь розбивається відміченими точками.

Спочатку поставити знак у самому правому проміжку на числовій осі за правилом: знак «+» ставиться, якщо число множників виду

парне, і знак «-», якщо це число непарне. Знаки в інших проміжках ставляться з урахуванням того, що вони чергуються в сусідніх проміжках.

7. Вибираються проміжки, в яких стоїть знак «+», якщо нерівність, отримана в пункті 4 має вигляд:

, або «-», якщо ця нерівність має вигляд . Ці проміжки містять у собі крайні точки, відмічені на числовій осі зафарбованими кружками, і не містять точок, відмічених світлими кружками,. Об’єднання цих проміжків і є множиною розв’язків даної нерівності.[4:124]

Приклад 1. Розв’язати методом інтервалів нерівність

. (1)

Розв’язування:З нерівності

знаходимо ОДЗ:

Далі замість нерівності (1) розв’язуємо рівняння

або звідки

Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).

Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.

1. Підставляємо значення

з інтервалу у нерівність (1). Дістаємо нерівність , яка не виконується. Тому нерівність (1) не виконується в усіх точках інтервалу .

2. Підставляючи в нерівність (1) значення

з інтервалу , дістаємо правильну нерівність . Отже, нерівність (1) виконується на інтервалі .

3. Підставляючи в (3) значення

з інтервалу дістаємо неправильну нерівність . Це означає, що нерівність (1) не виконується ні в одній точці інтервалу .

Остаточно маємо розв’язок нерівності (1)

Відповідь

.[1:161]

Приклад 2. Розв’язати нерівність

Розв’язування: Для знаходження коренів рівняння

необхідно розкласти його на множники. Отже

Отже числа

, , є коренями даного рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку з інтервалу , дістаємо . Провівши «криву знаків», визначаємо знак в кожному з інтервалів.

+ +

1 2 3 x

Відповідь:

2.2 Розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів узагальненним методом інтервалів

Нехай потрібно розв'язати нерівність

,

де

цілі додатні числа;

— дійсні числа, серед яких немає рівних і такі, що . Нерівності подібного типу розв'язують із застосуванням узагальненого метода інтервалів. В основі цього метода лежить така властивість двочлена точка ділить числову вісь на дві частини, причому якщо ( - парне), то вираз праворуч і ліворуч від точки зберігає додатний знак; якщо ( - непарне число), то вираз праворуч від точки додатний, а ліворуч від точки від'ємний.

Для розв'язання нерівності

узагальненим методом інтервалів на числову вісь наносимо числа

; в проміжку праворуч від найбільшого з них ставимо знак «плюс», а потім, рухаючись справа наліво, при переході через чергове число змінюємо знак, якщо — непарне число, і зберігаємо знак, якщо. — парне число.

Зауваження 1. Якщо зустрічаються вирази

, то праворуч від найбільшого з не обов'язково буде знак « + ». У цьому випадку найкраще визначити знак лівої частини нерівності в якомусь з інтервалів, а потім поставити знаки в кожному з інтервалів з урахуванням викладених вище міркувань.