Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів (стр. 4 из 5)

-

6 x

Відповідь:.

2.3 Розв’язування дробово-раціональних нерівностей

Приклад 1. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання: розкладемо чисельник і знаменник дробу, що стоїть в лівій частині нерівності, на множники:

.

Отриманий дріб містить два нелінійні множники:

і . Перший з них додатний і його можна опустити, другий множник виключимо у відповідності з пунктом 4:

Далі, на числовій осі відмітимо точки

, та інтервали, що утворюються при цьому, знаками:

+ +

-2 2 x

Виберемо інтервал

відмічений знаком «-» (так як ), і нанесемо на числову вісь точку . Ця точка попадає у вибраний інтервал. «Виколюючи» точку , отримуємо інтервали і , об’єднання яких утворює множину розв’язків даної нерівності:

Відповідь:

.

Приклад 2. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання: розкладемо багаточлен, що стоїть в чисельнику лівої частини нерівності, на множники. Розглянемо рівняння

. Серед дільників 8 підберемо корінь рівняння . Розділимо ліву частину рівняння на двочлен :

Тепер розглянемо рівняння

. Серед дільників 8 підберемо рівняння і розділимо ліву частину на двочлен :

Так як квадратний тричлен

не має дійсних коренів, отримаємо розкладення

.

Таким чином, дана нерівність перетворюється до вигляду:

.

Дріб в лівій частині цієї нерівності містить два нелінійних множники: квадратний тричлен

, що більший нуля, і . Виключимо ці множники:

На числовій осі відмітимо точки

, і інтервали, що утворюються знаками:

Виберемо інтервал

зі знаком «-» і потім відмітимо на осі точку . Ця точка належить вибраному інтервалу, і тому, виключаючи цю точку, отримуємо, що - множина розв’язків даної нерівності.

Відповідь:

.

Приклад 3. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання: у відповідності з описаною схемою методу інтервалів

Будемо відмічати на числовій осі точки

, , зафарбованими кружками (нерівність нестрога!), а точку - світлим кружком:

Розв’язок даної даної нерівності складаються з об’єднанням проміжків

.

Відповідь:

.

Приклад 4. Розв’язати нерівність

.

Розв’язування: Нанасимо на числову пряму точки

, , , , . Точки , , відзначаємо темними кружками, а точки , світлими.

Провівши «кривину знаків» з урахуванням того, що в околі точок

і ліва частина нерівності зберігає знак (тому що у виразах ), показники степенів є парними числами), дістанемо розв’язання Ця множина на рисунку заштрихована.

Відповідь:

Приклад 5. Розв’язати нерівність

.