Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку (стр. 3 из 6)
Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги
, 
, 
, 
.Досліджуємо крапку
.Складемо характеристичне рівняння в крапці
. 
Звідси
, 
(2.5) 
, 
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
= 
=0. 
,Або
.Характеристичними числами для крапки
системи (2.1) будуть 
.Коріння
- дійсні, різних знаків не залежно від параметра d. Отже, крапка - сідло.Досліджуємо крапку
.Складемо характеристичне рівняння в крапці
.Згідно
рівностям (2.5) характеристичне рівняння прийме вид:
,Або
.Характеристичними числами для крапки
системи (2.1) будуть 
,тобто
, 
.Коріння
- дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d (0, то крапка 
- нестійкий вузол, якщо d (0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо крапку 
.Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичне рівняння в крапці
: 
Характеристичними числами для крапки
системи (2.1) будуть
, тобто 
, 
. Коріння 
- дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка 
- стійкий вузол, якщо d>0, то крапка 
- нестійкий вузол.Досліджуємо крапку
.Складемо характеристичне рівняння в крапці
.Застосовуючи рівності (2.5), одержимо:
,Або
Характеристичними числами для крапки
системи (2.1) будуть
,тобто
, 
.Коріння
- дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Виходить, крапка 
- сідло.Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини наприкінці осі oy. Перетворення
[7]переводить систему (2.1) у систему:
(2.6)де
.Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку
. Складемо характеристичне рівняння в крапці 
. 
Одержимо, що 
Коріння
- дійсні й одного знака. Отже, крапка 
- стійкий вузол.Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7]
Це перетворення систему (2.1) переводить у систему: 
(2.7)де
.Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Маємо:
Одержуємо, що
. Отже, станів рівноваги поза кінцями осі oy немає.Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 1.
Таблиця 1.
| d | |  |  |  | ∞ |
| x=0 | |||||
| (-∞; 0) | сідло | невуст. вузол | вуст. вузол | сідло | вуст. вузол |
| (0; +∞) | сідло | вуст. вузол | невуст. вузол | сідло | вуст. вузол |
Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.1 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.4 (а, б) додатка А: Поводження траєкторій системи (2.1).
Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів, тому що Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другого ступеня, граничний цикл може оточувати тільки крапку типу фокуса. З огляду на розташування станів рівноваги відносно кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1), характер стану, містимо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів, що оточують кілька станів рівноваги.
а (d (0)
б (d (0)
Мал.1
2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
