Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку (стр. 4 из 6)
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.41) - (1.42). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:
(2.8)Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.9) 
(2.10)Приватний інтеграл (1.13) у цьому випадку перетворюється у дві прямі (2.10)
1. Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю
Розглянемо два випадки:
Одержуємо:
З першого рівняння знайдемо y:
і підставляючи y у друге рівняння одержимо:
Вирішуючи це рівняння, знаходимо:
.Отже, одержуємо
, 
, 
Отже, одержуємо крапки
, 
, 
, 
і пряму x=0, що є траєкторією системи (2.8).
2. Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги
Досліджуємо крапку
.Складемо характеристичне рівняння в крапці
. 
Звідси
(2.11) 
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть
, 
. Коріння 
- дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, значить крапка - сідло. Досліджуємо крапку . Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння в крапці 
: 
Характеристичними числами для крапки
системи (2.8) будуть 
, 
.Коріння
- дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка - нестійкий вузол, а якщо d>0, то крапка 
- стійкий вузол.3. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки
.Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)
.Характеристичними числами для крапки
системи (2.8) будуть 
, 
Коріння
- дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка - стійкий вузол, якщо d>0, то крапка - нестійкий вузол.4. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки
.Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть
, 
. Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, отже - сідло. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини системи (2.8) поза кінцями осі oy. Перетворення [7] 
переводить систему (2.8) у систему: 
(2.12)де
.Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Одержуємо:
Отже
.Таким чином, одержуємо дві крапки N1 (0,-1) і N2 (0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.
Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,-1).
(2.13), 
. Маємо: 
, 
.Коріння
- дійсні й різні за знаком, отже крапка N1 (0,-1) - сідло.Досліджуємо крапку N2 (0,1). Згідно (2.13) складемо характеристичне рівняння:
, 
.Коріння
- дійсні й одного знака, значить крапка N2 (0,1) - стійкий вузол.Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7]
. Це перетворення переводить систему (2.8) у систему: 
(2.14)де
.Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0):
, 
Коріння
- дійсні й одного знака, значить крапка N3 (0,0) - нестійкий вузол.Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 2.
Таблиця 2.
| d |  | |  |  | ∞ | ||
| N1 | N2 | N3 | |||||
| (-∞; 0) | сідло | невуст. вузол | вуст. вузол | сідло | сідло | вуст. вузол | невуст. вузол |
| (0; +∞) | сідло | вуст. вузол | невуст. вузол | сідло | сідло | вуст. вузол | невуст. вузол |
Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.2 (а, б).