Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку (стр. 5 из 6)
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.5 (а, б) додатка Б: Поводження траєкторій системи (2.8).
Питання про існування граничних циклів не виникає, тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не може оточувати вузол.
а (d<0) б (d>0)
Мал.2
2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
, 
. Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.52) - (1.53). Тоді система (1.1) буде мати вигляд: 
(2.15)Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.16) 
(2.17)Тобто приватні інтеграли (1.3) і (1.13) перетворюються в прямі таким чином, що інтегральна крива (2.16) збігається з однієї із прямих інтегральній кривій (2.17).
Знайдемо стани рівноваги системи (2.15). Дорівнявши праві частини системи нулю, і виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
(2.18)З (2.18) одержуємо, що
, 
, 
.Ординати крапок спокою мають вигляд:
, 
, 
.Отже, маємо крапки
, 
, 
.Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги
.Досліджуємо стан рівноваги в крапці
.Складемо характеристичне рівняння.
Звідси
(2.19) 
Отже, характеристичне рівняння прийме вид
Маємо
,Або
.Характеристичними числами для крапки
для системи (2.15) будуть 
.Коріння
- комплексні й залежать від параметра d. Виходить, якщо d<0, то крапка - стійкий фокус, якщо d>0, то крапка 
- нестійкий фокус. Досліджуємо крапку 
.Згідно (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці
.Маємо
. 
Характеристичними числами для крапки
системи (2.15) будуть 
, 
. Коріння 
- дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Отже, крапка - сідло.3. Досліджуємо крапку
.По (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці
.Одержимо
.Вирішуючи рівняння, одержимо
,тобто
, Коріння
- дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<o, то крапка 
- нестійкий вузол, якщо d>0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] 
Це перетворення систему (2.15) переводить у систему: 
(2.20)де
.Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі u, тобто при z=0. Одержуємо
Отже
Отже, маємо дві крапки N1 (0,2) і N2 (0,-2).
Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом. Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,2).
(2.21) 
.Отже
, 
, 
Скористаємося паралельним переносом
і підставимо z, u у систему (2.20). Одержимо нову систему:
(2.22)Складемо характеристичне рівняння в крапці N2 (0,-2)
Характеристичними числами для крапки N2 (0,-2), будуть
, 
- складний стан рівноваги. Для визначення характеру стану рівноваги скористаємося теоремою [2, с. 196-198]. Теорема 2.1 Нехай крапка (0,0) - ізольований стан рівноваги системи: 
(2.23)де
, 
є поліноми від x,y починаючи із другого ступеня, 
- рішення рівняння 
, а розкладання функції 
має вигляд: