Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку (стр. 1 из 6)
Дипломна робота
Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Зміст
Введення
1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи
1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи
1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)
2. Якісне дослідження побудованих класів систем
2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)
2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
Висновок
Список джерел
Додатки
Реферат
Дипломна робота ____ сторінок, 11 джерел.
Ключові слова й словосполучення: квадратична двовимірна стаціонарна система, приватний інтеграл, парабола, гіпербола, окружність, крапка, характеристичне рівняння, характеристичне число, вузол, сідло, фокус.
Дана робота містить результати досліджень автора, що ставляться до якісного дослідження в цілому двовимірної квадратичної стаціонарної системи.
Основним інструментом досліджень є поняття приватного інтеграла.
Робота складається із двох глав.
У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи зв'язані між собою трьома співвідношеннями.
У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.
Введення
Відомо, що в елементарних функціях і навіть у квадратурах інтегруються далеко не всі класи диференціальних рівнянь. У зв'язку із цим з'явилася необхідність у створенні такої теорії, за допомогою якої можна було б вивчати властивості рішень диференціальних рівнянь по виду самих рівнянь. Такою теорією, поряд з аналітичної, і є якісна теорія диференціальних рівнянь.
Уперше задача якісного дослідження для найпростішого випадку системи двох диференціальних рівнянь із повною виразністю була поставлена А. Пуанкаре [7]. Пізніше дослідження А. Пуанкаре були доповнені И. Бендиксоном [3, с. 191-211] і уточнені Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].
(0.1)Однієї із задач якісної теорії диференціальних рівнянь є вивчення поводження траєкторій динамічної системи (0.1) на фазовій площині в цілому у випадку, коли P (x,y) і Q (x,y) - аналітичні функції. Інтерес до вивчення цієї системи або відповідного їй рівняння пояснюється їх безпосереднім практичним застосуванням у різних областях фізики й техніки.
(0.2)Є багато робіт, у яких динамічні системи вивчалися в припущенні, що їхніми частками інтегралами є алгебраїчні криві. Поштовхом до більшості з них послужила робота Н.П. Еругина [6, с.659 - 670], у якій він дав спосіб побудови систем диференціальних рівнянь, що мають як свій приватний інтеграл криву заданого виду.
Знання одного приватного алгебраїчного інтеграла системи (0.1) у багатьох випадках допомагає побудувати повну якісну картину поводження інтегральних кривих у цілому. Відзначимо ряд робіт цього характеру для систем (0.1), у яких P (x,y) і Q (x,y) - поліноми другого ступеня.
Н.Н. Баутиним [1, с.181 - 196] і Н.Н. Серебряковою [8, с.160 - 166] повністю досліджений характер поводження траєкторій системи (0.1), що має два алгебраїчних інтеграли у вигляді прямих. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом таке дослідження проведене для рівняння (0.2) при наявності приватного інтеграла у вигляді кривої третього порядку. Яблонський А.И. [11, с.1752 - 1760] і Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] вивчали квадратичні системи із припущенням, що приватним інтегралом були алгебраїчні криві четвертого порядку.
У даній роботі розглядається система
(0.3)і проводиться якісне дослідження в цілому системи (0.3) за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола.
Робота складається із двох глав.
У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи зв'язані між собою трьома співвідношеннями.
У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.
1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
(1.1)Нехай система (1.1) має приватний інтеграл виду:
, (1.2)де Fk (x,y) - однорідні поліноми від x і y ступеня k.
Як приватний інтеграл (1.2) візьмемо параболу виду:
F (x,y) (y+ (1 x2 + (2 x+ (3 = 0 (1.3)
Будемо припускати, що (3 (0, тобто парабола не проходить через початок координат.
Згідно [10, с.1752-1760] для інтеграла (1.3) системи (1.1) має місце співвідношення:
, (1.4)де L (x,y) = px+my+n, p, m, n - постійні.
Тоді випливаючи формулі (1.4) одержимо рівність:
(2 (1x+ (2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = (y+ (1x2+ (2x+ (3) (px+my+n).
Дорівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях xm yn ліворуч і праворуч, одержимо рівності:
(2a1-p) (1= 0 (1.51), (4b1-m) (1= 0 (1.52), 2 (1c1= 0 (1.53)
(2a-n) (1+ (a1-p) (2+a2= 0 (1.61)
2 (1b+ (2b1-m) (2+2b2+p= 0 (1.62)
(2c1+c2-m= 0 (1.63), (a-n) (2-p (3n+c= 0 (1.71)
(2b- (3m+d-n= 0 (1.72), (3n= 0 (1.73)
Нехай (1 (0, тоді з рівностей (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) і (1.73) одержуємо, що
P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)
Зі співвідношень (1.61), (1.62) і (1.71) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.3) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:
a1
, (1.9)a2
, (1.10)a3.
(1.11)Рівність (1.72) з урахуванням отриманих виражень (1.9) - (1.11), дасть умову, що зв'язує коефіцієнти a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:
(1.12)Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) має приватний інтеграл (1.3), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.9) - (1.11), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношенням (1.12) і c1= 0, c2= 4b1, a1 (0, 2b1a-a1b (0.
1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи
Нехай тепер система (1.1) поряд з інтегралом (1.3) має інтеграл у вигляді:
y2+ (x2+ (x+ (y+ (=0 (1.13)
Будемо розглядати тепер систему:
(1.14)Відповідно до формули (1.4), де L
(x,y) = m1x+n1y+p1,m1, n1, p1 - постійні для системи (1.1), маємо:
(2a1-m1) (2= 0 (1.151)
(4b1-n1) (+2a1= 0 (1.152)
m1= 4b2 (1.153)
n1=8b1 (1.154)
(2a-p1) (+ (a1-m1) (+a2 (=0 (1.161)
2b (+ (2b1-n1) (+ (2b2-m1) (+2c= 0 (1.162)
(4b1-n1) (+2d-p1= 0 (1.163)
(a-p1) (+c (+m1 (= 0 (1.171)
b (+ (d-p1) (-n1 (= 0 (1.172)
p1 (= 0 (1.173)
Припустимо, що крива не проходить через початок координат, тобто ( (0.Нехай ( (0, тоді з рівностей (1.151), (1.153), (1.154) і (1.173) одержуємо, що
m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)
А зі співвідношень (1.161), (1.163) і (1.171) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.13) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:
(1.19), 
(1.20) 
(1.21), 
(1.22)Підставляючи коефіцієнти (, (, (і (у рівності (1.162) і (1.172), одержимо дві умови, що зв'язують коефіцієнти a, b, c, d, a2, b1, b2:
(1.23) 
(1.24)Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.2 Система (1.14) має приватний інтеграл (1.13), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.19) - (1.22), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношеннями (1.23), (1.24) і b1 (0, b2 (0, a1=2b2.
1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)
У розділах 1.1-1.2 ми одержали, що система (1.1) буде мати дві частки інтеграла у вигляді кривих другого порядку за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношеннями:
(1.25) 