Динамические системы в плоской области (стр. 11 из 13)

(55)

Точка О(0, 0) — состояние равновесия. Система имеет аналитический интеграл

ху = С.(56)

Интегральными кривыми при С

0 являются гиперболы (56) и при С = 0 — координатные оси х = 0 и у =0. Каждая гипербола состоит из двух траекторий (ее ветвей) и каждая из координатных осей — из трех траекторий (состояния равновесия О и двух полуосей). Соответствующее разбиение на траектории указано на рис. 17.

Из выражений (55) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси х (получающаяся из (55) при у₀ =0), стремятся к состоянию равновесия при t

, а траектории, являющиеся полупрямыми оси у, при t . Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет.

Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется седлом. Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном случае полупрямые х =- 0 и у = 0 — называются сепаратрисами седла.

Траектории, сколь угодно близкие к сепаратрисе седла, при неограниченном возрастании tудаляются от сепаратрис. Такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не противоречит теореме 4 (о непрерывной зависимости от начальных значений), так как эта теорема рассматривает поведение близких траекторий только на конечном промежутке значений t. Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную траекторию сепаратрису, то для любого конечного промежутка значений tтеорема 4, очевидно, выполняется. Но при увеличении рассматриваемого промежутка величину б (см. теорему 4') нужно брать все меньше и меньше. Рассмотрение интегральных кривых системы (54) в пространстве (х, у, t) аналогично проведенному в предыдущих примерах, и мы его опускаем.

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров, именно, несколько примеров нелинейных динамических систем. При этом будем рассматривать только разбиение на траектории фазовой плоскости, заданное этими системами, не обращаясь уже больше к пространству (х, у, t), как в примерах линейных систем.

Рис. 16. Рис. 17

Рис. 18

Сделаем предварительно следующее элементарное замечание, являющееся, однако, весьма существенным для понимания некоторых основных свойств разбиения на траектории: в окрестности всякой точки, отличной от состояния равновесия в «малом», траектории ведут себя «аналогично параллельным прямым». Это наглядно иллюстрируется рис. 18. Далее, сделаем еще одно предварительное замечание. Пусть наряду с системо

Р(х, у), = Q(x, у) (l)

задана система

= (х, y) f(x, y)Q(x, у),

Q(x, y) f(x, y)P(x, y), ( )

где f(x, y) — функция класса С_N, или аналитическая, определенная в той же области, что и система (I).

Легко видеть, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями равновесия системы (

). В каждой точке области Gрассмотрим векторы и , определенные соответственно системой (I) и ( ). Если обозначить через и углы между положительным направлением оси х и векторами и , соответственно, то, очевидно

Тогда тангенс угла между вектором

и вектором дается выражением.

(57)

Отметим, что в любой неособой точке области Gскалярное произведение

(

) = P²+ Q²> 0

Следовательно, векторы

и не перпендикулярны.

Формулы (57) означают, как мы будем сокращенно говорить, что векторное поле системы (

) повернуто по отношению к векторному полю системы (I) на острый угол, тангенс которого равен f.

Пример 7

(58)

Легко видеть, что система (58) имеет вид системы (

), в которой Р (х, у) = — у, Q (х, у)=х и f(х, у) = х²+ у² — 1. Системой же

Р (х, у), = Q(x, у)

является система (51) примера 5. Отсюда следует, что система (58), так же как и (51), имеет единственное состояние равновесия О (0, 0) и что векторное поле системы (58) повернуто по отношению к нyлю системы (51) на острый угол, тангенс которого равен

х²+у²— 1

Этот угол, очевидно, положителен в точке, где

(x²+ у²— 1) > 0, и отрицателен,

где (х²+ у² — 1) < 0, и равен нулю на окружности х² + у² — 1 = 0.

Учитывая знак выражения х² + у² — 1, нетрудно убедиться в том, что при С > 1 траектории системы (58) входят внутрь окружностей х² + у² = С и выходят из таких окружностей при С < 1. На рис. 19 показаны направления векторов поля системы (58) (нарисованные векторы имеют одинаковую длину и этим отличаются от векторов системы (58)).

Непосредственной проверкой легко убедиться, что окружность

х² + у² — 1=0

есть интегральная кривая системы (58) и, следовательно, является ее замкнутой траекторией. В силу установленной выше связи между векторными полями систем (51) и (58) траектории

х² + у² = С(59)

системы (51) являются циклами без контакта для траекторий системы (58), т. е. траектории системы (58) при С

1 ни в одной точке не касаются окружностей (59). Окружность жex²+y² = lявляется одновременно траекторией обеих систем (51), (58).

На основании всего вышеизложенного представляется геометрически очевидным, что траектории системы (58) имеют характер, представленный на рис. 20. Строго можно доказать это найдя уравнения траекторий в полярных координатах. Полагая

или

мы найдём

, (60)

и

(61)

Рис. 19. Рис. 20

Интегрируя последнее уравнение, мы получим

Это и есть уравнение траекторий в полярных координатах. Траектории, проходящей через точку М₀(

₀, ₀), соответствует значение

С =

Если

₀ >1, то С > 0 и >1; 1 при и при

(Очевидно, при этом

изменяется в интервале

.)

является решением уравнения (61). Если

₀<1, toС<0 и < 1. Тогда