Динамические системы в плоской области (стр. 13 из 13)

Наконец, заметим, что внутри кривой (70) выражение

— 2х² х⁴меньше 0, а вне — больше нуля. Сравнивая векторные поля систем (66) и (69), нетрудно видеть, что все замкнутые траектории системы (66) (рис. 23) являются циклами без контакта для траекторий системы (69).

На основании этого, можно показать, что разбиение на траектории имеет вид, представленный на рис. 24. а,при

> 0 и на рис. 24.б при < 0.При > 0 все траектории, лежащие вне кривой (70) при tвозрастающем, уходят на бесконечность, а при t «накручиваются» на кривую (70). Траектории, лежащие внутри кривой (70) при t , «накручиваются» на однуиз простых замкнутых кривых, составляющих часть кривой (70), а при t стремятся к одному из состояний равновесия F₁и F₂, которые являются «фокусами».

Рис. 24.а. Рис. 24.6.

Состояние равновесия О — седло, кривая (70) является предельным континуумом для траекторий, расположенных вне нее, а каждая ее петля (вместе с состоянием равновесия О) — предельным континуумом для траекторий, расположенных внутри этой петли. Аналогично обстоит дело при

< 0

15. Выводы

Приведенные выше примеры, на которых был проиллюстрирован целый ряд установленных выше предложений, одновременно являются примерами «исчерпывающего» исследования «качественной структуры» разбиения на траектории, т. е. «исчерпывающего» качественного исследования динамической системы.

С точки зрения качественного исследования знание точной формы траектории не представляет интереса: мы уже подчеркивали это, указывая на одинаковое «качественное поведение» траекторий в случае узла и фокуса. Однако существенный интерес представляет, например, знание числа состояний равновесия, факт наличия или отсутствия изолированной замкнутой траектории — предельного цикла, ход сепаратрис и так далее.

В приведенных выше примерах «исчерпывающее» качественное исследование разбиения на траектории удалось провести ввиду простоты рассматриваемых динамических систем. В примерах 1—6 динамические системы являлись линейными. В других примерах получены обозримые аналитические выражения для решения или интегралов. Это позволяло полностью решить вопрос о характере разбиения на траектории. Исследование характера разбиения на траектории в примерах 9 и 11 было проведено, опираясь на результаты примеров 8 и 10, на понятие циклов и кривых без контактов и на свойства поворота поля.Конечно, такое элементарное и исчерпывающее качественное исследование, как правило, не удается провести в случае произвольной динамической системы вида (I).

Мы не можем рассчитывать получить элементарные выражения для решений или интегралов в случае произвольной динамической системы. Вследствие этого даже очень простые но виду динамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественного исследования создания специальных приемов. Примером этому может служить «система Ван-дер-Поля»

качественному исследованию которой посвящено большое количество работ. Таким образом, естественно встает вопрос об отыскании регулярных методов качественного исследования динамических систем или хотя бы о достаточно эффективных приемах такого исследования.

Подчеркнем еще раз, что даже в тех случаях, когда у рассматриваемой динамической системы существует аналитический интеграл (в смысле п. 13) и найдено его аналитическое выражение

Ф(х, у) = С(71)

(как это имело место в примерах 8 и 9), вопрос качественного исследования разбиения на траектории, как правило, не делается тривиальным. Он сводится, правда, к вопросу качественного исследования семейства кривых (71). Однако в настоящее время не существует регулярных методов качественного исследования семейства кривых (71) или отдельной кривой

F(x, y) = 0

Такие методы отсутствуют даже в том случае, когда функции Ф (х, у) и F (х, у) являются многочленами.Поэтому ни в какой мере не следует думать, что знание аналитического интеграла (в тех случаях, когда он существует) сразу же решает задачу качественного исследования динамической системы: оно просто сводит одну задачу — задачу непосредственного исследования разбиения на траектории, заданного системой (I) — к задаче качественного исследования семейства кривых вида (71).Поэтому представляется целесообразным отыскание методов или приемов непосредственного качественного исследования системы (I), без предварительного нахождения аналитических выражений для решений. Прежде чем переходить к описанию таких приемов, естественно установить некоторые общие свойства разбиения на траектории. Необходимо выяснить: каким вообще может быть разбиение на траектории, определенное системой (I). Вопросом, который при этом возникает первым, является вопрос о том, какие типы траекторий вообще возможны у динамических систем вида (I). В п. 5 было установлено, что траектории могут быть состояниями равновесия, замкнутыми и незамкнутыми траекториями. Однако это еще слишком общие, неконкретные сведения о возможном характере траектории (в случае незамкнутой траектории).