Динамические системы в плоской области (стр. 2 из 13)

( ), .

Если заменить в этих равенствах tна t+C, то при всех t

( —С,Т — С) мы будем иметь тождественное равенство

(3)

Но, очевидно

,

и, следовательно, равенства (3) могут быть записаны в виде

Последние равенства показывают, что функции (2) являются решением системы (I). Тот факт, что это решение определено на интервале (

— С, Т — С), устанавливается простым рассуждением, которое мы опускаем. Лемма доказана.

С точки зрения геометрической интерпретации в трехмерном пространстве утверждение леммы 1 означает, что линия, получающаяся из любой интегральной кривой путем сдвига ее вдоль оси tна любой отрезок, также есть интегральная кривая. В самом деле, интегральная кривая

получается из интегральной кривой

сдвигом вдоль оси tна величину С.

Лемма 2.

а) Решения системы (I)

(1)

и

(2)

можно рассматривать как решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями х₀ и у₀ и различными начальными значениями переменного t.

б) Два решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями переменных х₀, у₀ и различными начальными значениями t,могут быть получены одно из другого заменой tна

с надлежащим выбором постоянной С.

Доказательство. Если решение (1) соответствует начальным значениям t₀, x₀, у₀так, что

(3)

то в силу очевидных равенств

(t₀—С + С) = (t₀) = x₀ ψ (t₀—С + С) = ψ (t₀) = y₀

решение (2) соответствует начальным значениям t₀—С, х₀, у₀, что и доказывает утверждение а).

Далее, рассмотрим наряду с решением (1), соответствующим начальным значениям t₀, x₀, у₀, решение

(4)

соответствующее начальным значениям

, x₀, у₀, где t₀. Если в решении

(2)

величину С взять равной t₀—

, то оно, очевидно, будет соответствовать тем же начальным значениям , x₀, у₀, что и решение (4). В силу единственности решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, отсюда следует

,

что и доказывает утверждение б) леммы.

В дальнейшем, рассматривая наряду с решением (1) решение (2), мы будем часто говорить, что рассматриваются решения, отличающиеся выбором начального значения t. Решение всякой системы двух дифференциальных уравнении, соответствующее любым произвольным начальным значениям t₀, х₀, у₀ , очевидно, является функцией t, t₀, х₀, у₀ , т. е. записывается в виде

х = Ф(t, t₀, х₀, г/о), y= Ψ (t, t₀, х₀, у₀) (5)

При этом по самому смыслу функций Ф (t, t₀, х₀, у₀) и Ψ (t, t₀, x₀, у₀), Ф(t₀, t₀, х₀, у₀) = х₀, Ψ (t₀, t₀, х₀, у₀)= у₀

Однако в случае системы (1), вследствие автономности этой системы, функции (5) являются по существу не функциями переменных tи t₀, а функциями разности t—t₀. Это устанавливается в следующей лемме:

Лемма 3. Решение системы (I) как функции от t и от начальных значений t₀ , x₀ , у₀ ,может быть записано в виде

x =

(t—t₀ , х₀ , у₀), y= ψ(t—t₀, х₀, у₀).(6)

Доказательство. Рассмотрим наряду с решением (5) решение

х = Ф(t, 0, х₀, у₀), y =Ψ (t, 0, х₀, у₀),

удовлетворяющие начальным условиям: при t=0, х=х₀, у=у₀

В силу леммы 1 функции

x = Ф (t — t₀, 0, х₀, у₀), y =Ψ (t— t₀ ,0, х₀ ,у₀) (7)

также являются решением системы (I). Решения (5) и (7) соответствуют одним и тем же начальным значениям t₀, x₀, у₀ . Но тогда эти решения совпадают, т. е.

Ф (t ,t₀ , х₀, у₀)= Ф (t — t₀, 0, х₀, у₀)

Ψ (t , t₀, х₀ ,у₀)= Ψ (t— t₀ ,0, х₀ ,у₀)

Введение обозначений

Ф (t — t₀, 0, х₀, у₀)=

(t—t₀ , х₀ , у₀),

Ψ (t— t₀ ,0, х₀ ,у₀)= ψ(t—t₀, х₀, у₀)

устанавливает справедливость утверждения леммы.

В дальнейшем решение системы (I), соответствующее начальным значениям t₀, х₀, у₀, мы всегда будем записывать в виде (6).

Лемма 4. Если решение

x =

(t—t₀ , х₀ , у₀), y= ψ(t—t₀, х₀, у₀).(8)

определено при значении t= t₁ , и

(9) то

(t—t₀ , х₀ , у₀) (t—t₁, х₀, у₀)

ψ(t—t₀ , х₀ , у₀)

(t—t₁, х₀, у₀) (10)

Доказательство. Из соотношений (9), очевидно, следует, что решение (8) и решение

x=

(t—t₁, х₀, у₀), y= (t—t₁, х₀, у₀)

являются решениями, соответствующими одним и тем же начальным значениям t₁ , х₁ , y₁. Но тогда эти решения совпадают, т. е. имеют место равенства (10).

Замечание. Полагая в тождествах (10) t = t₀, мы получим

x₀ =

(t₀ t₁ , х₁ , у₁) , y₀ = ψ(t₀ t₁ , х₁ , у₁)

Это, очевидно, справедливо при любых t₁ , х₁ , у₁ удовлетворяющих соотношениям (10). Опуская индексы, мы получаем

x₀ =

(t₀—t, х, у) , y₀ = ψ(t₀—t, х, у).

Лемма 5. Если система (I) является системой класса С_n , тoфункции

x₀ =

(t—t₀ , х₀ , у₀) , y₀ = ψ (t—t₀ , х₀ , у₀)

при всех значениях, входящих в них переменных, при которых эти функции определены, имеют непрерывные (по совокупности всех переменных) частные производные:

1) по t (или t₀) до порядка n+1 включительно,

2) по х₀ и у₀ до порядка nвключительно

3). пot(или t₀) и по х₀ и у₀—содержащие по крайней мере одно дифференцирование по t (или t₀)—до порядка n + 1

4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у)

Геометрическая интерпретация системы (I) в трехмерном пространстве (х, у, t) в настоящей книге является вспомогательной. Основная геометрическая интерпретация автономной системы (1)связана с рассмотрением плоскости (х, у). Эта плоскость называется фазовой плоскостью системы (I).

Будем в каждой точке М (х, у) области Gплоскости (х, у) рассматривать вектор vс компонентами Р (х, у), Q(x, у). Динамическая система (I) определяет, таким образом, в области G векторное поле *).

В силу того, что Р (х, у) и Q (х, у) по предположению имеют непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (I), является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным полем.