Динамические системы в плоской области (стр. 3 из 13)

Пусть в точке М (х, у) хотя бы одна из величин Р (х, у), Q (х, у) не обращается в нуль. Тогда длина вектора в этой точке

отлична от нуля, а синус и косинус угла

(x, у) между положительным направлением оси х и направлением вектора даются выражениями

В тех точках, в которых одновременно Р (х, у), Q(x, у).

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным. Такие точки называются особыми точками векторного поля (или особыми точками системы (1)); точки, в которых хотя бы одна из величин Р (x, у), Q (х, у) не равна нулю,— обыкновенными или неособыми точками этого векторного поля. Во всякой неособой точке М векторного поля угол

(x, у), непрерывен. В особой точке угол (x, у) неопределен, и при стремлении и к координатам особой точки lim может не существовать.

Пусть

(11)

— какое-нибудь решение системы (I). Множество точек М (

(t), ψ (t)), где tпринимает все значения, при которых определено решение (11), называется траекторией, соответствующей данному решению, а также траекторией векторного поля, заданного динамической системой (І), или просто траекторией данной динамической системы (а также иногда фазовой траекторией).

Уравнения (11), очевидно, являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, мы будем называть решением, соответствующим данной траектории.

В математической литературе весьма употребительно векторное обозначение для системы дифференциальных уравнений. Система (I) в этом обозначении запишется в виде векторного уравнения

= F(x)

Векторное обозначение чрезвычайно удобно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа уравнении. Однако в рассмотренном нами случае системы только двух дифференциальных уравнении в этом обозначении нет особой необходимости, п мы не будем пользоваться им для того, чтобы не загромождать изложение различными символиками.]

Если точка М (х, у) траектории не является особой точкой векторного поля, то вектор (Р (х, у), Q (х, у)) является касательным вектором к траектории (рис. 2). Действительно, в силу того, что

есть решение системы (I), имеют место тождества

(12)

Но вектор с компонентами

(t), (t), очевидно, является касательным вектором к траектории, и в силу равенств (12) он совпадает с вектором поля, заданного системой (I).

Рассматривая параметр tкак «время», можно дать следующую «кинематическую» интерпретацию системы (I): решение

можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой плоскости. В каждой точке фазовой плоскости вектор, заданный системой (I), т. е. вектор Р(х, у), Q (х, у), очевидно, равен скорости движущейся точки или «фазовой скорости». Решениям с одними и теми же начальными значениями х₀ и у₀ и различными начальными значениями t₀соответствуют движения, начинающиеся в одной и той же точке, но в различные начальные моменты «времени» (t₀и t*). Точка с координатами (

) называется также «изображающей» или «представляющей» точкой.

Пусть М (a,b) — особая точка системы (I), так что

P(a,b)=Q(a,b)(13)

Тогда, очевидно, х = a, у = bесть решение системы (I), и, следовательно, особая точка векторного поля сама является отдельной траекторией. Такая траектория называется состоянием равновесия *). Очевидно, также обратно, если у системы (I) есть решение

х = а, y= b(14)

(а и b— некоторые постоянные), то точка a, bнепременно является состоянием равновесия (особой точкой векторного поля), т. е. для нее выполняются равенства (13). Решение (14), очевидно, вследствие того, что tв него не входит, определено для всех t.

В дальнейшем для точек х, у области G, для которых Р (х, у) =0, Q (х, у) = 0, в основном будет использоваться термин «состояние равновесия» (а не особая точка).

Состояние равновесия М (а, Ь) системы (I) называется изолированным, если существует

> 0 такое, что в -окрестности кроме М не лежит уже более ни одного состояния равновесия.

5. Разбиение области в фазовой плоскости на траектории

Некоторые элементарные сведения о траекториях.

Лемма 6. Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения t₀, соответствует одна и та же траектория.

В другой терминологии — «положением равновесия» или «точкой покоя».

Доказательство. В силу лемм 1 и 2 всякие два решения, отличающиеся выбором начальных значений t₀(но имеющие одни и те же Начальные значения

), могут быть получены одно из другого заменой tна t+ С. Но если даны два решении

(15)

(16)

причем решение (15) определено на интервале (

, Т), а решение (16) — на интервале ( — С, Т — С), то, очевидно, им соответствует одна и та же траектория (так как замена в (15) tчерез t+С является просто заменой обозначении переменного). Лемма доказана.

Теорема 3. Через каждую точку области G проходит одна и только одна траектория динамической системы (1).

Доказательство. Пусть М₀ (х₀, у₀) — произвольная точка области G.

Тогда в силу теоремы 1 (о существовании и единственности решения) при всяком tсуществует решение, соответствующее начальным значениям t₀, x₀,

Это, очевидно, и означает, что через точку х₀, у₀ проходит хотя бы одна траектория L.

Предположим теперь, что через одну и ту же точку М₀ (х₀, у₀) области Gпроходят две различные траектории Lи L*.

Пусть

— решение, соответствующее траектории L*. Это решение, очевидно, непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t = t* мы имели бы

но тогда в силу леммы 2 при надлежащем выборе С мы должны иметь

и, следовательно (см. лемму 6), траектории Lи L* вопреки предположению не могут быть различны. Теорема доказана.

Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой tна t+С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения t₀(см. лемму 2).

Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ этой траектории соответствует значение t₀, а точке M₁— значение t₀+

. Тогда из замечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ соответствует значение t*, то значению t* + соответствует точка .

Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области

с G, то в силу теоремы 2 соответствующее ей решение определено при всех значениях

t(

< t< )

В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиение области G на траектории.

Мы укажем здесь некоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия.