Динамические системы в плоской области (стр. 4 из 13)

Как мы видели, х = а, y=bтогда и только тогда является состоянием равновесия, когда выполняются условия Р(а, b) = Q(a, b) = 0.

Предположим теперь, что траектория L, соответствующая решению

не является состоянием равновесия. Во всех точках такой траектории, очевидно, выполняется неравенство

Действительно, если бы в какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L, соответствующей значению t*, имело место равенство

т. е. одновременно

и это, очевидно, означало бы, что точка х*, у* является состоянием равновесия. Но состояние равновесия само является отдельной траекторией, и в силу теоремы 3 точка М* (х*, у*) не может принадлежать отличной от состояния равновесия траектории L.

Рассмотрим вопрос о том, могут ли быть у траектории, отличной от состояния равновесия, «самопересечения», т. е. возможно ли, чтобы существовали значения t₁и t₂, t₁

t₂такие, чтобы соответствующие им точки траектории совпадали.

Ответ на этот вопрос дается следующей леммой:

Лемма 7. Пусть траектория L, соответствующая решению

( < t< T),(17)

отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значения t, t₁ и t₂(

< t₁< t₂< T) такие, что

Тогда решение (17) определено при всех значениях

t (т. е.

)

функции

, являются периодическими функциями t, а соответствующая траектория—простой гладкой замкнутой кривой.

Доказательство. Пусть

(18)

Рассмотрим наряду с решением (17) решение

(19)

определенное на интервале

(

— С, Т — С)

где С = t₂— t₁(см. лемму 1).

Из равенств (18) следует, что решения (17) и (19) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (при t= t₁ , x = х₀ , у =у₀). Но тогда эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значений t, на которых они определены. Но интервалы (

, Т) и ( — С, Т — С) при С 0 могут совпадать лишь в том случае, когда =- , Т =+ .

Таким образом, мы показали, что решения (17) и (19) определены для всех t(

< t< ). Далее, из совпадения решений (17) и (19) следует, что при всех t (— < t< )

(20)

где C = t₂— t₁ >0. Это, очевидно, означает, что функции

(t) и (t)— периодические функции с общим периодом 0 = t₂— t₁. Пусть

)(21)

— наименьшее положительное число, при котором имеют место равенства

(22)

Такое число непременно существует. Действительно, в противном случае можно было бы указать последовательность положительных чисел {

} таких, что

и

Очевидно, тогда при любом nи любом целом |k|

или, зафиксировав какое-нибудь t₀, можно написать

Таким образом, каждая из функции

(t) и (t) принимает одно и то же значение, равное соответственно ( ) и ( ) при всех следующих значениях t

где N может быть любым целым числом, а

сколь угодно мало при достаточно большом n. Следовательно, какое бы значение t* мы ни взяли, либо t* =t и тогда , либо t* попадает в некоторый интервал (t₀+(k-1) ,t₀ + ) или

(t₀—(k-1)

,t₀ -- ) и в силу того, что Q_nсколь угодно мало при достаточно большом n, существуют сколь угодно близкие к t* значения t', при которых

Но тогда в силу непрерывности функций

(t), (t) мы, очевидно, также имеем

Это означает, что функции

(t), (t)— постоянные, т. е. траектория Lсостояние равновесия, что противоречит условию теоремы.

Очевидно, все точки траектории Lмогут быть получены при изменении tв уравнениях (17) от t₀до t₀+

₀ (t₀ t t₀- ₀), где t₀— любое фиксированное число. Так как по самому определению ₀ есть наименьшее число,при котором выполняются равенства(22),то всяким двум значениям и t", t₀ заведомо соответствуют различные точки траектории L. Это и означает, что траектория Lявляется простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана.

Решение, в котором функции

(t) и (t) — периодические функции t, называется периодическим решением. Наименьшее число ₀ > 0, при котором выполняются равенства (22),— периодом этого решения.

Траектория L, соответствующая периодическому решению, называется замкнутой траекторией. Очевидно, все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкнутой траекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой траекторией.

Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть «самопересечений», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответствующая значениям tв любом конечном сегменте, является простой гладкой дугой.