Динамические системы в плоской области (стр. 5 из 13)
Таким образом, мы получили следующие основные элементарные сведения о траекториях. Траектория может быть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой (несамопересекающейся) траекторией. Эти сведения являются предварительными, так как возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным.
6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R3 и геометрической интерпретации на фазовой плоскости
Как мы уже указывали, каждому решению системы (I) соответствует в
интегральная кривая.Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (x, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются те и только те интегральные кривые пространства
, которые получаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на произвольный отрезок вдоль оси t. Таким образом, устанавливается естественное соответствие между траекториями динамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве . При этом могут представиться следующие случаи в зависимости от характера траектории L:Lесть состояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая интегральная кривая в
является прямой х = а, у = b, параллельной оси tи проходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси tэта прямая переходит сама в себя.2) Lесть замкнутая траектория, соответствующая решению с периодом
0. Соответствующие интегральные кривые имеют характер «винтовых линий» с шагом 0 и проектируются в траекторию L. При сдвиге вдоль оси tна отрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую кривую, если С не кратно 0, и сама в себя, если С кратно 0 (рис. 3).3) L— незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соответствующая траектории L, при любом сдвиге вдоль оси t, отличном от нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).
Рис. 3. Рис. 4.
Подчеркнем следующие элементарные факты. Точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (т. е. «изображающая точка» с координатами х =
(t), y= 
(t) ), не может стремиться к точке какой-либо отличной от нее траектории при t, стремящемся к конечному значению. Действительно, в противном случае , интегральные кривые в пространстве (x, у, t) пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия, может стремиться к состоянию равновесия либо при t 
, либо при 
7. Направление на траектории. Изменение параметризации
Пусть L— траектория системы (I) и
х =
(t), y = (t)— какое-нибудь соответствующее ей решение.
Мы введем на траектории Lопределенное направление в качестве положительного. Именно, будем считать положительным направлением на Lнаправление в сторону возрастания t. При таком определении можно сказать, что положительное направление в каждой точке траектории Lсовпадает с направлением вектора, заданного в этой точке системой (I).
Пользуясь «кинематической» интерпретацией, можно сказать, что положительное направление на Lесть то направление, в котором точка с координатами х =
(t), y = (t) движется по траектории при возрастании tи при котором направление ее скорости в каждой точке совпадает с направлением фазовой скорости.Введенное таким образом положительное направление на Lне зависит от того, какое из решений, соответствующих траектории L, мы возьмем (так как все такие решения получаются одно из другого заменой tна
В дальнейшем мы будем обычно опускать слово «положительное», т. е. под направлением на траектории L системы (I) мы будем подразумевать положительное направление, определяемое (или, как говорят, индуцируемое) на L этой системой.
Рассмотрим наряду с системой (I) систему
(I')Векторное поле системы (I') получается из векторного поля системы (I), если изменить направление каждого вектора на противоположное (не меняя длин векторов).
Непосредственной проверкой устанавливается, что каждому решению
х =
(t), y = (t) (23)системы (I) соответствует решение
х =
(-t), y = (-t)(24)системы (I'). Отсюда очевидно, что системы (I) и (1') имеют одинаковые траектории, но индуцируют на траекториях противоположные направления. Таким образом, переход от системы (I) к системе (I') можно рассматривать, как изменение параметризации на траекториях, именно, как замену параметра tпараметром —t.
Рассмотрим более общий случай изменения параметризации на траекториях системы (1). Пусть f(х, у) — функция класса C1 , заданная в области G. Предположим, что функция f(х, у) отлична от нуля во всех точках области G, отличных от состояний равновесия системы (1), и имеет в них один и тот же знак.
Рассмотрим наряду с системой (I) систему
(I*)В силу предположений, сделанных относительно функции f(х, у), очевидно, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями равновесия системы (I*).
Лемма 8. Если
х =
(t), y = (t)(25)есть решение системы (I), причем соответствующая ему траектория отлична от состояния равновесия, то существует монотонная функция класса C1 (t) =
(s) такая, что пара функций 
(26)является решением системы (I*).
Доказательство. Задавая какое-нибудь начальное значение t0, t0
( 
, Т), где ( , Т) — интервал определения решения (25), и произвольное s0, рассмотрим следующую функцию s(t) 
Так как f(х, у) не обращается в нуль в точках, отличных от состояний равновесия, то s(t) является монотонной функцией класса С1 , определенной на интервале (
, Т). Очевидно, существует обратная функция (s), определенная в некотором интервале ( 
S), также класса С1 , монотонная. Очевидно, 
Поэтому
(27) 
Последние соотношения показывают, что функции (26) являются решением системы (I*). Нетрудно видеть, что (
S), является максимальным интервалом определения решения (26), так как в противном случае интервал ( 
, Т) не был бы максимальным для решения (25). Лемма доказана.Уравнения (25) и (26) являются, очевидно, различными параметрическими уравнениями одной и той же траектории. Поэтому из леммы 8 следует, что динамические системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории, но с различными параметризациями на них. При переходе от системы (I) к системе (I*) направления на траекториях остаются неизменными, если f(х, у) > 0, и меняются, если F(x,y)<0.
Предположим теперь, что функция f(х, у) может обращаться в нуль в точках, отличных от состояний равновесия системы (I), а также может менять знак в области G. Рассмотрим снова систему (I*). Очевидно, состояниями равновесия системы (I*) являются все состояния равновесия системы (I), а также все точки области G, которые не являются состояниями равновесия системы (1), но в которых f(х, у) = 0.