Динамические системы в плоской области (стр. 6 из 13)

Кривая f(х, у) = 0 называется особой линией системы (I*) (каждая точка этой кривой является состоянием равновесия системы (I*)).

Рассмотрим теперь траекторию Lсистемы (I), отличную от состояния равновесия. Если на траектории Lфункция f(х, у)

0, то так же, как и выше, Lявляется траекторией системы (I*) с измененной, вообще говоря, параметризацией.

Если же на траектории Lимеются точки кривой f(х, у) = 0, то все точки L, отличные от этих точек, распадаются, как легко видеть, на конечное или счетное число гладких кривых, являющихся траекториями системы (I*) (рис. 5). Направление на каждой такой траектории совпадает с направлением на L, если на этой траектории f(х, у) > 0, и не совпадает в противном случае.

Таким образом, каждая траектория системы (I) либо является траекторией системы (I*), либо состоит из конечного или бесконечного множества траекторий системы (I*) .

В дальнейшем, в ряде предложений и в примерах мы неоднократно будем встречаться с динамическими системами вида

( )

где Р (х, у), Q (х, у) — функции класса C_N (

> 1) или аналитические, f(х, y) — функция класса C_Nили аналитическая, которая может обращаться в нуль в области G(в которой рассматривается система). Очевидно, в точках, где (х, у) = 0, правые части рассматриваемой системы (I**) не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем замены параметра tпривести рассмотрение системы (I**) к рассмотрению системы вида (I).

Действительно, полагая при х и у, необращающих в нуль f(х, у), dt=f(х, у) d

, мы получаем систему

(I***)

Эту же систему мы будем рассматривать при х и у, обращающих в нуль функцию f(х, у) (что соответствует доопределению по непрерывности), так что система (I***) будет определена во всей области G. Очевидно, во всякой части области G, в которой f(х, у) не обращается в нуль, траектории системы (I**) и (I***) совпадают как точечные множества, однако, параметры на них различны. При этом там, где f(х, у) > 0, направление по

совпадает с направлением по t, а там, где f(х, у) < 0 — противоположно ему. Точки с координатами х и у, обращающими в нуль функцию f(х, у), в которых правые части системы (I**) не определены, естественно выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (I**) (к таким точкам, как нетрудно убедиться на простых примерах, точка по траектории может стремиться при t, стремящемся к конечному значению).

8. Терминология и обозначения

В случае, когда решения, соответствующие данной траектории L, определены для всех значении t(

), мы будем иногда, желая подчеркнуть это, называть такую траекторию L целой траекторией. В силу теоремы 2 всякая траектория, лежащая в ограниченйой части плоскости, у которой расстояние любой ее точки от границы области Gбольше некоторого ₀> 0, заведомо является целой траекторией.

Обратное неверно. Траектория, у которой есть точки, сколь угодно близкие к границе области G, может как быть, так и не быть целой траекторией.

Пусть М₀ — точка траектории L, которая при выбранном решении соответствует значению t= t₀. Если решение определено при всех t(t> t₀), то множество точек траектории L, соответствующих значениям t> t₀, называется положительной полутраекторией, выделенной из траектории L, и обозначается через L⁽⁺⁾ или

. Аналогично если решение определено при всех t t₀, то множество точек траектории L, соответствующих значениям t t₀, называется отрицательной полутраекторией, выделенной из траектории L, и обозначается через или . Очевидно, если взять другое решение, соответствующее траектории L, при котором точке М₀ соответствует значение t₁ t₀, то точки полутраектории (или ) будут соответствовать значениям . Точку М₀ мы иногда будем называть «концом» полутраектории. В дальнейшем нам часто придется рассматривать полутраекторию без указания на то, является ли она положительной или отрицательной. В этом случае мы будем обозначать полутраекторию через U' или L&bsol;j₀. В случае, когда траектория Lявляется состоянием равновесия или замкнутой траекторией, всякая положительная и всякая отрицательная полутраектория, выделенная из нее, совпадает с ней самой. Полутраекторию, выделенную из незамкнутой траектории, мы будем называть незамкнутой полу траекторией, а полутраекторию, выделенную из замкнутой траектории (очевидно, совпадающую с этой траекторией), будем называть замкнутой полутраекторией.

В математической литературе решение системы (I) часто называют движением. Эта терминология находится в соответствии с «кинематическим» истолкованием динамической системы. Мы также будем пользоваться этой весьма употребительной терминологией. Таким образом, мы будем говорить о движении, соответствующем данным начальным значениям, о траектории, соответствующей данному движению, о движении, соответствующем данной траектории, или, иначе, о движении на траектории (т. е. о решении, соответствующем данной траектории), о периодическом движении и т. д.

Будем также говорить, что траектория L при t = t₀ проходит через точку М₀, подразумевая при этом, что на траектории Lвыбрано некоторое определенное движение и при этом движении точке М₀ соответствует значение t = t₀. Точно так же мы будем говорить: «точка М₁ траектории Lсоответствует значению t= t₁ » или «траектория при t= t₁пересекает данную дугу

и т. д., подразумевая под этим, что при данном выбранном движении на L точка М₁ или общая точка траектории Lи дуги соответствует значению t= t₁ и т. д.

Мы будем часто пользоваться следующими выражениями: «траектория Lпри возрастании (или убывании) входит в данную область или выходит из данной области», «траектория при t> T₀остается в данной области» и другими аналогичными выражениями, не требующими пояснения. Кроме того, укажем следующие обозначения. Если

х =

(t), y = (t)(28)

— какое-нибудь движение (т. е. решение), то точку с координатами

(t), (t) мы будем обозначать через М (t) и решение (28) — через М=М (t). Если указаны начальные значения, которым соответствует рассматриваемое движение, т. е. движение (решение) записано в виде

x=

(t — t₀, х₀, у₀) , y = (t — t₀, х₀, у₀), (29)

то, обозначая через М₀ точку х₀, у₀, мы будем записывать точку с координатами

(t—t₀, х₀, у₀), (t — t₀, х₀, у₀) в виде М (t — t₀, M₀) и решение (29) —в виде М = М (t — t₀, M₀).

9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений

Наряду с теоремой о существовании и единственности решения основной теоремой теории дифференциальных уравнений является теорема о непрерывной зависимости от начальных значений.

Мы сформулируем здесь эту теорему для рассматриваемых нами автономных систем вида (I).

Теорема 4. Пусть

x=

(t — t₀, х₀, у₀) , y = (t — t₀, х₀, у₀)

— решение системы (I), определенное на интервале (

, Т), а и ( < ) — два произвольных числа из этого интервала. Тогда, каково бы ни было > 0, существует такое > 0, что, если