Динамические системы в плоской области (стр. 8 из 13)
В каждой точке этой кривой угловой коэффициент касательной задается уравнением (II).
Пусть
х =
(t), у = 
(t)— решение системы (I), соответствующее начальным значениям t0, x0y0 . Выражая tвблизи значений t0, х0, у0 как функцию х, t=
(х) (это возможно в силу того, что по условию ' (t0) = Р (x0 ,y0) 
0) и подставляя в функцию у = (t), мы, как нетрудно видеть, получаем решение уравнения (II)y =
( (x)) = f(x)Очевидно, интегральная кривая уравнения (II) в точках, в которых она определена, совпадает с траекторией системы (I) или является частью этой траектории.
Рис. 7
Предположим, что решение у = f (х) определено на интервале (x1 , x2) , и пусть х стремится к одному из концов этого интервала, например х
x1 (все сказанное в этом случае может быть повторено для случая, когда х 
х2). На основании общих теорем нетрудно видеть, что если при х x1 точка с координатами (x, f(х)) не стремится к границе области G, то она стремится к точке М (x1 , f (x1)), для которой Р (x1 , f (x1)) = 0, т. е. к точке, в которой уравнение (II) теряет смысл. Если при этом Q(x1 , f (x1)) 0, то точка М, очевидно, является такой точкой траектории системы (I), в которой касательная параллельна оси у (рис. 7). В окрестности такой точки естественно рассматривать уравнение (II*), и как «продолжение» интегральной кривой, соответствующей данному решению у = f(x) уравнения (II), рассматривать интегральную кривую уравнения (II*), проходящую через точку М(x1 , f (x1)) . Очевидно, в окрестности всякой точки, в которой ни Р (х, у), ни Q (х, у) не обращается в нуль, решение уравнения (II*) может быть получено из решения у = f (х) уравнения (II), если в нем х выразить как функцию у, х =g (у), а части соответствующих интегральных кривых уравнений (II) и (II*), лежащие в достаточно малой окрестности такой точки, совпадают.Совершенно аналогично в точке N (
), в которой Q (g(у1), y1) = 0, а Р(g(у1), y1) 0, естественно «продолжением» интегральной кривой уравнения (II*) считать проходящую через эту точку интегральную кривую уравнения (II).Нетрудно убедиться в том, что множество точек, состоящее из точек интегральной кривой уравнения (II). проходящей через некоторую, отличную от состояния равновесия системы (I) точку М0 (х0, у0) области Gи всех «продолжений» этой интегральной кривой в указанном выше смысле, совпадает с траекторией, проходящей через точку М0.
Таким образом, одновременное задание уравнений (II) и (II*) определяет все траектории системы (I), отличные от состояний равновесия. Но в то время, как при рассмотрении системы (I) траектории определяются с помощью параметрических уравнении, при рассмотрении уравнений (II) и (II*) траектории определяются уравнениями в переменных х и у (уравнениями в декартовых координатах). В дальнейшем, рассматривая одновременно дифференциальные уравнения (II) и (II*), мы не будем выписывать оба эти уравнения: выписывая одно из этих уравнений, мы будем подразумевать, что рассматриваются оба. Мы будем также пользоваться следующими симметричными относительно х и у записями уравнений (II) и (II*), именно
(III)Траектории системы (I), отличные от состояния равновесия, мы будем называть интегральными кривыми уравнения (III) (а также, не совсем точно, интегральными кривыми уравнения (II) или (II*)).
Точки, в которых одновременно
Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0
и оба уравнения (II) и (II*) теряют смысл, называются особыми точками уравнений (II), (II*) или (III). Таким образом, состояниям равновесия системы (I) соответствуют особые точки уравнении (II), (II*) или (III) и, наоборот, особым точкам — состояния равновесия.
В то время, как система (I) определяет в области Gфазовой плоскости векторное поле, состоящее из векторов
(х, у) с компонентами Р (х, у), Q (х, у) , уравнение (III) (или пара уравнений (II) и (II*)) определяет поле направлений или поле линейных элементов. Линейным элементом называется точка М и проходящий через эту точку ненаправленный прямолинейный отрезок, для которого М является внутренней точкой. Поле линейных элементов, определенное уравнением (III), получается, если через каждую точку М (х, у) области провести прямолинейный отрезок, имеющий угловой коэффициент 
(если 
0, то соответствующий отрезок параллелен оси у).Очевидно, линейный элемент, соответствующий точке М (х, у), лежит на касательной к траектории, проходящей через точку М.
Если функция класса
f (x, у) не обращается в нуль в области G, то системе 
, 
(I*)соответствует, очевидно, то же дифференциальное уравнение (II)
, что и системе 
, 
Отсюда вторично вытекает доказанное в п. 7 утверждение, что системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории. Если функция f(х, у) обращается в нуль в точках области G, то, рассматривая уравнение
мы, очевидно, «теряем» особые точки системы (I*) (неявляющиеся состояниями равновесия системы (I)), для которых f(х,y) = 0.
12. Изоклины
Кривые, расположенные в области Gи имеющие уравнение
Q(x, у)
С 
Р (х, у) = 0(34)(С — постоянное) или уравнение
Р(x, y) = 0,(35)
называются изоклинами (линиями равного наклона) системы (I) или уравнения (III). Эти кривые обладают, очевидно, тем свойством, что траектории системы (I), проходящие через все отличные от состояний равновесия точки каждой кривой, имеют в этих точках одинаковые направления касательных. Именно, угловые коэффициенты траекторий в точках изоклины (34) равны С, а в точках изоклины (35) равны
. Таким образом, направление касательной к траектории меняется только при переходе точки с одной изоклины на другую.Изоклины Q (х, у) = О и Р (х, у) = 0 называются главными изоклинами. В точках первой из них касательные к траекториям горизонтальны, а в точках второй — вертикальны. Поэтому главные изоклины называют также изоклинами горизонтальных, соответственно вертикальных, наклонов.
Очевидно, все состояния равновесия лежат на каждой из изоклин и, обратно, общие точки любых двух изоклин (различных) являются состояниями равновесия системы. В частности, состояния равновесия являются общими точками двух главных изоклин.
13. Понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл». использующиеся в классической литературе при рассмотрении аналитических систем
В этом пункте мы введем понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл» дифференциального уравнения или системы уравнений так, как это обычно делается в классической литературе при рассмотрении аналитических дифференциальных уравнений и систем.
Мы останавливаемся здесь на указанных понятиях, не играющих роли в излагаемой дальше теории ввиду того, что они часто используются в дальнейшем при рассмотрении примеров.
Пусть рассматриваемая система (I)
Р(х, у) 
Q(x, у)является аналитической в области G. Соответствующее этой системе дифференциальное уравнение запишем в симметричной форме (III)
интеграл динамический плоскость траектория
Пусть функция F (х, у) удовлетворяет следующим условиям:
а) она является аналитической во всех точках кривой, заданной соотношением
F(x,y) = 0,(36)