Динамические системы в плоской области (стр. 1 из 13)

ТЕМА

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ

1. Введение

Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений вида

(I)

где Р (х, у) и Q (х, у) — непрерывные функции, определенные в некоторой области Gевклидовой плоскости (х, у — декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные частные производные до порядка не ниже первого. Область может быть как ограниченной, так и неограниченной. В частности, область Gможет совпадать со всей плоскостью (х, у).

Системы вида (I) являются частным случаем систем двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями: независимое переменное tв их правые части явно не входит. Системы дифференциальных уравнений, правые части которых не содержат явно независимое переменное, называются автономными. Автономные системы дифференциальных уравнений называются также динамическими системами.

Систему (I) мы будем называть динамической системой на плоскости или в плоской области. Мы будем также говорить, что динамическая система задана или определена в области G. В дальнейшем мы будем опускать слова «на плоскости» и «в плоской области».

Динамическая система (I), заданная в области G, называется системой класса С_n, если функции Р (х, у) и Q(я, у) являются функциями класса С_n, т. е. имеют в области Gнепрерывные частные производные до порядка nвключительно.

Динамическая система (I) называется системой аналитического класса или аналитической системой, если функции Р и Qявляются аналитическими функциями в области G.

Очевидно, всякая система класса C_k (к > 1) является одновременно системой класса C_k1, где к₁ < к, в частности, системой класса C₁. Аналитическая система является системой класса C_kдля любого натурального к.

Все рассматриваемые в этой книге динамические системы являются системами класса

. Поэтому всюду в дальнейшем под динамической системой мы будем во всяком случае всегда подразумевать систему класса , не оговаривая этого явно.

Изложим простейшие свойства динамических систем в плоской области. Свойства эти характерны для автономных систем дифференциальных уравнений. Неавтономные системы (т. е. системы, в правые части которых tвходит явно), вообще говоря, ими не обладают .

2. Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в пространстве -R³

Рассмотрим обычную для системы двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями геометрическую интерпретацию, т. е. геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве с декартовыми координатами х, у, t.

Функции Р (х, у) и Q (х, у) нужно при этом рассматривать как функции трех переменных х, у и t. Но так как эти функции от tне зависят, то в трехмерном пространстве R³областью определения правых частей системы (I) является бесконечная цилиндрическая область Н, образованная всеми прямыми, параллельными оси t, пересекающими плоскость (х, у) в точках области G.

Решения

системы (I) интерпретируются как кривые, расположенные в области Н. Эти кривые называются интегральными кривыми системы (I). Мы будем, здесь и всюду в дальнейшем, под решением системы дифференциальных уравнений подразумевать решение, продолженное на максимальный возможный интервал значений t.

Так как функции Р (х, у) и Q (х, у) во всяком случае являются функциями класса С₁ то для системы (I) во всех точках области Hвыполняются условия теоремы существования и единственности, а следовательно и сама эта теорема. Мы сформулируем ее для системы (I) следующим образом:

Теорема 1. Для любой точки М₀(х₀,

) Gи для любого t₀, , существует одно и только одно решение

системы (I), удовлетворяющее начальным условиям

определенное для всех значений t в некотором определенном интервале (

, Т), содержащем t₀.(В частности, решение может быть определено при всех значениях t, т. е. t может быть равно , а Т может быть равно ).

Геометрически теорема 1 означает, что через каждую точку области Н проходит интегральная кривая системы (I) и при этом только одна.

Для системы вида (I) справедлива также следующая теорема, которая существенно используется в дальнейшем:

Теорема 2. Пусть

— замкнутая ограниченная область, содержащаяся в области G ( G),

(1)

— решение системы (I), определенное в интервале (

, Т) и такое, что при всех t на интервале ( , Т) точка N ( , ) все время остается в области . Тогда = , T=+ , т.е.решение (1) определено для всех значений t.

Доказательство. Предположим, что решение

определено при значении t - t₀. Пусть

— два произвольных числа, причем < t₀, > t₀. Обозначим через конечную цилиндрическую область пространства , состоящую из всех точек М (t, x, у) таких, что , а х, у таковы, что точка (х, у) (рис. 1). Интегральная кривая, соответствующая решению (1), проходит через точку М₀ (t₀, , ), принадлежащую области H₁. Но тогда, в силу теоремы (А') дополнения, эта интегральная кривая выходит из области как при значении, большем t₀, так и при значении, меньшем t₀. Однако выйти из цилиндрической области через боковую поверхность этой области интегральная кривая не может, так как в этом случае, очевидно, нашлась бы точка N ( ), лежащая вне замкнутой области , что противоречит условию теоремы.

Рис. 1.

Следовательно, рассматриваемая интегральная кривая выходит из

через нижнее и верхнее основания (рис. 1). Но это значит, что решение (1) определено при t= и t = . Так как произвольны, то решение (1) определено при всех значениях t. Теорема доказана.

3. Простейшие свойства решений системы (I)

Мы установим некоторые cвойства решений системы (I), являющиеся следствием автономности этой системы.

Лемма 1. Если

есть решение системы (I), определенное на интервале (

, Т), то

(2)

где С — любая постоянная, также есть решение системы (I) и это решение определено на интервале (

— С, Т — С).

Доказательство. Так как (1) есть решение системы (I), то при всех t

( , Т) имеет место тождественное равенство