Предел и непрерывность функций нескольких переменных (стр. 2 из 3)

Докажем для примера (7).

Пусть (x_k, y_k) → (х₀, у₀) ((x_k, y_k) ≠ (х₀, у₀)); тогда

(9)

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x_k, y_k) стремится к (х₀, у₀) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x, y)∙φ (x, y) в точке (х₀, у₀).

Теорема. если функция f (x, y) имеет предел, не равный нулю в точке (х₀, у₀), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам

0 <

< δ, (10)

она удовлетворяет неравенству

(12)

Поэтому для таких (x, y)

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x, y) следует

откуда при A> 0 и при

A< 0 (сохранение знака).

По определению функция f(x) = f (x₁, …, x_n) = Aимеет предел в точке

x⁰ =

, равный числу А, обозначаемый так:

(пишут еще f(x) → A (x → x⁰)), если она определена на некоторой окрестности точки x⁰, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x⁰ последовательность точек х^k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x⁰.

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x⁰ предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки x⁰, за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

(13)

для всех х, удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x⁰| < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x⁰) точки x⁰ такая, что для всех х

U(x⁰), х ≠ x⁰, выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f(x) в x⁰, то А есть предел функции f(x⁰ + h) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки x⁰, кроме, быть может, точки x⁰; пусть ω = (ω₁, ..., ω_п) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x⁰ + tω (0 < t) образуют выходящий из x⁰ луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

(0 < t < δ_ω)

от скалярной переменной t, где δ_ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t)

если он существует, естественно называть пределом f в точке x⁰ по направлению вектора ω.

Будем писать

, если функция f определена в некоторой окрестности x⁰, за исключением, быть может, x⁰, и для всякого N> 0 найдется δ > 0 такое, что |f(x)| >N, коль скоро 0 < |x – x⁰| < δ.

Можно говорить о пределе f, когда х → ∞:

(14)

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N> 0, что для точек х, для которых |x| > N, функция f определена и имеет место неравенство

.

Итак, предел функции f(x) = f(x₁, ..., х_п) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f(M) при М → М₀, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М₀ и удовлетворяющих условию | ММ₀ | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – А | < ε.

Предел обозначают

В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f₁(M) и f₂(M) при М → М₀ стремятся каждая к конечному пределу, то:

а)

б)

в)

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx, тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом

Тогда

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом

Тогда

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х₀, у₀), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х₀, у₀) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

(1)

Условие непрерывности f в точке (х₀, у₀) можно записать в эквивалентной форме:

(1')

т.е. функция fнепрерывна в точке (х₀, у₀), если непрерывна функция f (х₀ + Δх, у₀ + Δу) от переменных Δх, Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δх, Δу аргументов

Δи = f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y)

и на этом языке определить непрерывность f в (x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если

(1'')

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х₀, у₀) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х₀, у₀) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x, y. Она непрерывна по этим переменным, потому что

|f (x, y) – f (х₀, у₀) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так: