Предел и непрерывность функций нескольких переменных (стр. 3 из 3)
| f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y) | = |f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 
0.Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y)
R2.Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x, y), очевидно, непрерывная всюду на R2, за исключением точек (x, y), где Q (x, y) = 0.
Функция
Р(x, y) = х3 – у2 + х2у – 4
может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция
Р(x, y) = х4 – 2х2у2 + у4
есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.
Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x0, y0, z0) пространства R3 (точек (x, y, z)), а функции
x = φ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v)
непрерывны в точке (u0, v0) пространства R2 (точек (u, v)). Пусть, кроме того,
x0 = φ (u0, v0), y0= ψ (u0, v0), z0= χ (u0, v0).
Тогда функция F(u, v) = f[ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по
(u, v)) в точке (u0, v0).
Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то
Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х0, у0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f(х0, у0) в некоторой окрестности точки (х0, у0).
По определению функция f (x) = f (x1, ..., хп) непрерывна в точке х0 = (х01, ..., х0п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х0, и если предел ее в точке х0 равен ее значению в ней:
(2)Условие непрерывности f в точке х0 можно записать в эквивалентной форме:
(2')т.е. функция f (x) непрерывна в точке х0, если непрерывна функция f (х0 + h) от h в точкеh = 0.
Можно ввести приращение f в точке х0, соответствующее приращению h = (h1, ..., hп),
Δhf (х0) = f (х0 + h) – f (х0)
и на его языке определить непрерывность f в х0: функция f непрерывна в х0, если
(2'')Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х0функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х0) ≠ 0.
Замечание. Приращение Δhf (х0) называют также полным приращением функции f в точке х0.
В пространстве Rnточек х = (x1, ..., хп) зададим множество точек G.
По определению х0 = (х01, ..., х0п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.
Множество G
Rn называется открытым, если все его точки внутренние.Говорят, что функции
х1 = φ1(t), ..., хп = φп(t) (a ≤ t ≤ b)
непрерывные на отрезке [a, b], определяют непрерывную кривую в Rn, соединяющую точки х1 = (х11, ..., х1п) и х2 = (х21, ..., х2п), где х11 = φ1(а), ..., х1п = φп(а), х21 = φ1(b), ..., х2п = φп(b). Букву t называют параметром кривой.
Множество G называется связным, если любые его две точки х1, х2 можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.
Связное открытое множество называется областью.
Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на Rn (во всех точках Rn). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству
f (x) > с (или f (x) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.
В самом деле, функция F(x) = f(x) – с непрерывна на Rn, и множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть х0
G, тогда существует шар| х – х0 | < δ,
на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х0
G – внутренняя для G.Случай с f (x) < с доказывается аналогично.
Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
а) функция f (М) определена в точке М0 и вблизи этой точки;
б) существует предел
;в)
Если в точке М0 нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln (x2 + y2).
Решение. Функция z = ln (x2 + y2) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.
Пример 2. Найти точки разрыва функции:
Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x2 + y2 – z2 = 0. Следовательно, поверхность конуса
x2 + y2 = z2 является поверхностью разрыва.
Заключение
Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.
В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).
Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.
Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.
Список использованной литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.
3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.
4. http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html
5. http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm