Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 10 из 17)

Теорема 2.2. Пусть

- разрешимая линейная группа над полем характеристики , не содержащая неединичную нормальную -подгруппу. Пусть - элемент порядка в . Тогда минимальное уравнение для имеет вид .

Число

удовлетворяет следующему условию. Пусть наименьшее целое число (если оно существует), для которого является степенью простого числа со свойством . Если не существует, то ; в противном случае

Этот результат, дополненный более детальными сведениями об элементах

, для которых , будет ключом к доказательству теоремы А. Надо заметить, что неравенство может выполняться только тогда, когда или когда - простое число Ферма. Теорема В и подобные ей теоремы доказываются в основном прямым определением наименьшей группы, удовлетворяющей этим условиям, и прямым вычислением. При этом играет важную роль следующая теорема, интересная сама по себе.

Теорема 2.3. Пусть

- некоторая -группа, на которую действует -группа , причем некоторый элемент группы действует нетривиально на , но тривиально на каждую истинную -инвариантную подгруппу группы . Тогда существует такое простое число , что является либо элементарной абелевой -группой, либо -группой класса нильпотентности 2, у которой центр и коммутант совпадают, факторгруппа по коммутанту - элементарная абелева группа и представление на неприводимо.

Следует отметить, что если

- разрешимая группа, то ограничитель влечет ограниченность длины ряда коммутантов группы .

Пусть

означает следующее утверждение:

: для каждого положительного целого числа существует такое целое число , что всякая разрешимая группа экспоненты , порождаемая элементами, имеет порядок не больше .

Теорема 2.4.

истинно, если истинно для всех степеней простых чисел , делящих .

В частности, так как известно, что

, и истинны, то истинны и . В этих случаях, как и всегда, когда делится только на два простых числа, мы можем слово "разрешимая" заменить в формулировке словом "конечная". Если - число, свободное от квадратов, мы даже можем вычислить , когда извесны для всех простых , делящих , и всех . Так, порядок наибольшей конечной -порожденной группы экспоненты 6 дается формулой

где и

Пусть требуется доказать индукцией по порядку группы

неравенство

Здесь

и - числовые инварианты, определеннные для некоторого класса конечных групп, который мы предпологаем замкнутым. Мы предпологаем, что (2.3) выполняется для достаточно малых , следовательно и для , и, кроме того, что:

(I) если

- подгруппа , то ;