Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 11 из 17)

(II)

;

(III) если

- факторгруппа , то .

Тогда справедлива

Лемма 2.5. В доказательстве неравенства (2.3) индукцией по порядку группы

можно предположить, что обладает только одной минимальной нормальной подгруппой.

В самом деле, если

обладает двумя минимальными нормальными подгруппами и , мы получим, что , так что изоморфна подгруппе прямого произведения . Т.к. - инвариант, имеющий одинаковые значения для изоморфных групп, последние (I) и (II) дают

В силу предположения индукции

и в силу условия (III) . Таким образом, , и точно также , так что , что и требовалось.

Заметим, что все силовские

-инварианты, упомянутые раньше, кроме , заведамо удовлетворяют условиям (I), (II) и (III). То же верно и для инварианта разрешимой группы и инварианта -разрешимой группы; удовлетворяет условию (III). Таким образом, если удовлетворяет условиям (I) и (II), то этим же условиям удовлетворяет любая неубывающая функция , а если удовлетворяют условию (III), то этому же условию удовлетворяет любая функция , не убывающая по любому из аргументов. Так как все наши неравенства тривиальны для достаточно малых групп , то легко видеть, что утверждение последней леммы можно применять каждый раз, когда это необходимо.

Теорема 2.6. Если

- разрешимая группа, то .

Доказывая теорему индукцией по порядку

, можно предположить, что обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Так как разрешима, эта подгруппа будет -группой для некоторого простого числа . Тогда в верхнем -ряде (2.2) группы подгруппа . Отсюда

Но

и -1, в то время как при инварианты и имеют одинаковые значения для и .

Пусть предложение индукции, применённое к группе

, даёт

Отсюда следует теорема.

Нам понадобиться далее важное свойство верхнего

-ряда -разрешимой группы, которое удобно вывести в немного более общем контексте. Пусть - некоторое множество простых чисел, а - дополнительное к множество. -группа - это конечная группа, порядок которой делится только на простые числа, входящие в . Конечная группа -разрешима, если каждый её композиционный фактор является либо -группой, либо -группой. Такая группа обладает верхним -рядом, для которого мы используем те же обозначения, что и в случае, когда содержит одно простое число . Таким образом, мы пишем

для ряда нормальных подгрупп, требуя, чтобы факторгруппа

была наибольшей нормальной -подгруппой в , а факторгруппа - наибольшей нормальной -подгруппой в .

Лемма 2.7. Если

-разрешимая группа не содержит неединичную -подгруппу, так что , то группа содержит свой централизатор в группе .

Пусть

- централизатор группы . Если лемма не верна и , то мы можем выбрать нормальную подгруппу группы , такую, что и минимальную при этом условии. Так как группа -разрешима, факторгруппа оказывается или -группой, или -группой, а по определению группы она не может быть -группой. Следовательно, факторгруппа есть -группа и порядки групп и взаимно просты. По теореме Шура, группа обладает дополнением в группе . Так как , трансформирование группы элементом из индуцирует ее внутренний автоморфизм, а т.к. порядки и взаимно просты, этот автоморфизм может быть только тождественным. Тогда - прямое произведение и . Поэтому является характеристической подгруппой в , а следовательно, нормальной подгруппой в , в потиворечие с предположением, что . Это противоречие доказывает лемму. Заметим, что предположение на самом деле излишне, так как в общем случае мы можем применить лемму к факторгруппе .