Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 12 из 17)

Следствие 2.8. Пусть

- некоторая подгруппа , индекс которой не делится ни на какое простое число из , тогда центр группы содержится в центре группы .

Действительно, подгруппа

должна содержать нормальную -подгруппу группы .

Следствие 2.9. Пусть

- некоторая подгруппа группы , содержащая , тогда не обладает неединичной нормальной -подгруппой.

Действительно, нормальная

-подгруппа группы должна содержаться в центролизаторе группы .

Под

-подгруппой конечной группы мы подразумеваем такую подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты. Если группа разрешима и ее порядок равен , где , то группа обладает -подгруппами порядка и любые две из них сопряжены, а поэтому изоморфны.

Теорема 2.10. Если

- разрешимая группа порядка , где при , и если подгруппа группы порядка имеет класс нильпотентности то

В частности, для любой конечной разрешимой группы

. -подгруппа некоторой факторгруппы , порядок которой делит , имеет класс нильпотентности, не превышающий , так что мы можем применить утверждение леммы 2.5 и получить результат индукцией по порядку группы , допустив что обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Это будет -группа для некоторого простого числа , и мы можем поэтому предполодить, что ее порядок делит . Тогда, если мы возьмем в качестве множество простых долителей числа , окажется выполненной предпосылка леммы 2.5. Если - наибольшая нормальная -подгруппа группы и - ее центр, то по следствию леммы 2.5 содержит центр -подгруппы группы , имеющей порядок . Порядок -подгруппы группы делит , поэтому класс нильпотентности ее не более . Для -подгруппы групп и порядка изоморфны, так что в силу предположения индукции, примененной к , получим

Так как

, то доказательство по индукции проведено.