Смекни!
smekni.com

Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 13 из 17)

Прежде чем применять лемму 2.5 к доказательству неравенства для

, удобно уточнить её для случая, при котором
состоит из одного простого числа
. Пусть
есть
-разрешимая группа с верхним
-рядом (2.2) . Тогда лемма 2.5, применённая к группе
, показывает, что если
- элемент группы
, не входящий в
, то трансформирование элементом
индуцирует в
нетождественный автоморфизм. Необходимое уточнение состоит в замене группы
группой
, где
- подгруппа Фраттини группы
. Теперь
-
-группа, и таким образом
- элементарная абелева
-группа. Ясно поэтому, что автоморфизм группы
, индуцированный группы
, тождественный. Таким образом, множество элементов группы
, которое тождественно трансформирует
, является нормальной подгруппой
группы
, такой, что
. По определению
фактор группа
не может быть
-группой, отличной от 1, так что если
, то группа
должна содержать элемент
, не входящий в
и порядка, взаимно простого
. Тогда
индуцирует автоморфизм группы
порядка, взаимно простого с
. Но автоморфизм
-группы, тождественоой по модулю подгруппе Фраттини, имеет порядок, равный степени числа
. Таким образом,
индуцирует в
нетождественный автоморфизм, что противоречит определению группы
. Значит,
, что и требовалось. Таким образом:

Лемма 2.11. Если

есть
-разрешимая группа с верхним
-рядом (2.2) и если
- подгруппа Фраттини группы
, то автоморфизмы группы
, которые индуцированы трансформированиями элементами группы
, представляют
точно.

Следствие 2.12.

.

По лемме группа

не обладает неединичной нормальной
-подгруппой, и последующие члены её верхнего
-ряда представляют собой фактор группы по
соответствующих членов верхнего
-ряда группы
.

Теорема 2.13. Для любой

-разрешимой группы

(I)

(II)

Мы можем использовать индукцию по порядку группы

и предположить, что
обладает только одной минимальной нормальной подгруппой
. Очевидно, мы можем также предположить, что
, откуда последствию из леммы 2.11
, а, следовотельно,
, и
- элементарная абелева
-группа. Теперь, полагая
, мы получим, что
, так что по предположению индукции заключаем, что
. Если
- группа порядка
, то порядок её группы автоморфизмов
равен

так что

. Согласно лемме 2.11, группа
изоморфна некоторой подгруппе группы
, так что
, откуда
. Таким образом,


что и требовалось.

С другой стороны согласно следствию 1 леммы 2.7,

содержит центр силовской
-подгруппы группы
, так что
. Так как
, то индукция для (II) проводится сразу.

Неравенства, полученные сдесь, отнюдь не являются наилучшими. Для нечетных

их значительно можно усилить. Однако при
теорему 2.13 улучшить нельзя.