Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 14 из 17)

Последнюю теорему можно применить для короткого доказательства утверждений

и .

3 ГРУППА С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ДОБАВЛЕНИЯМИ К ПОДГРУППАМ

В настоящем главе описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, в частности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых групп. Доказывается

Теорема 3.1. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна

или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Следствие 3.2. Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна

или , где - -группа, либо , где - -группа.

Отметим, что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изучены С. С. Левищенко [13]. Среди них нет неразрешимых групп.

Рассматриваются только конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны, их можно найти в [2,14].

Нам понадобится следующая

Лемма 3.3. Пусть в конечной группе

каждая несверхразрешимая группа обладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением.

Proof. Пусть

- произвольная подгруппа конечной группы , и пусть - несверхразрешимая подгруппа из . В группе существует нильпотентное добавление к подгруппе . Поэтому , а . Теперь - нильпотентна, и к vможно взять нильпотентное добавление в подгруппе .

Пусть

- нормальная в подгруппа, и - несверхразрешимая в подгруппа. Тогда несверхразрешима, и существует нильпотентная подгруппа такая, что . Теперь нильпотентна и , т. е. к подгруппе можно найти в нильпотентное добавление.

Докажем теорему.

Пример. Путь

- конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Так как не -нильпотентна, то в существует -замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная в силовская 2-подгруппа, подгруппа - циклическая [14,c. 434]. Поскольку не является сверхразрешимой, то существует нильпотентная подгруппа такая, что . С учётом чётности порядка из теоремы 2.8 [15] заключаем, что фактор-группа изоморфна или , где - некоторое простое число, а - наибольшая разрешимая нормальная в подгруппа. Кроме того,

а

Здесь

и - 'элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка . Из теоремы 2.10 [15] получаем, что - простое число.

В случае, когда

и - простые числа в простой группе , каждая несверхразрешимая подгруппа изоморфна группе . Последняя подгруппа имеет в циклическое дополнение . Поэтому группа в случае, когда и - простые числа, удовлетворяет условию теоремы.

Проверим, что группа

не удовлетворяют условию теоремы. Пусть

Известно, что

- нормальная в подгруппа, а - циклическая группа порядка . Для силовской -подгруппы из имеем