Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 15 из 17)

Теперь

Поскольку

и - простые числа, то в существует подгруппа порядка . Для подгруппа -замкнута, и внешний автоморфизм не централизует силовскую -подгруппу, поэтому несверхразрешима. Так как в нет нильпотентной подгруппы порядка , то не удовлетворяет условию теоремы при . Если , то в для подгруппы Шмидта, изоморфной знакопеременной группе степени , должна найтись нильпотентная подгруппа порядка, делящегося на . Но такой нильпотентной подгруппы в нет.

Итак, если

, то изоморфна , где и - простые числа.

Пусть теперь

. Предположим, что не является минимальной нормальной в подгруппой, и пусть - минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в . По индукции, , где - нильпотентна, а изоморфна или . Так как , то - собственная в подгруппа, и для её прообраза в группе по индукции получаем, что , где или . Подгруппа характеристична в , а нормальна в , поэтому нормальна в . Так как

то

Поскольку для несверхразрешимой подгруппы

из существует нильпотентная подгруппа такая, что , то

будет нильпотентной подгруппой.

Теперь рассмотрим случай, когда

- минимальная нормальная в подгруппа. Предположим, что коммутант - собственная в подгруппа. Так как

то

Из минимальности

получаем, что

Так как

где

и - простые числа, то в этом случае теорема доказана.

Итак, пусть

. Если - собственная подгруппа в своём централизаторе, то из простоты следует, что содержится в центре . Теперь группа изоморфна или по теореме VI.25.7 [14].

Пусть

самоцентрализуема. Поскольку разрешима, то - -группа для некоторого простого . Допусти, что существует простое , делящее порядок , и пусть - силовская -подгруппа из . Если подгруппа сверхразрешима, то нильпотентна и не самоцентрализуема. Если не сверхразрешима, то по условию теоремы существует нильпотентная подгруппа такая, что . Но теперь

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп, противоречие. Итак,

- наибольшее простое число, делящее порядок .