Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 16 из 17)

Допустим, что

не содержится в . Тогда - собственная в подгруппа и . Так как , и - -группа, то - группа нечётного порядка. Подгруппа имеет порядок и - простое число. Поэтому и теперь , а фактор-группа

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.

Следовательно,

содержится в и из самоцентрализуемости и нильпотентности получаем, что - -группа для наибольшего простого , делящего порядок . Из теоремы 2.1 [15] получаем, что , а . Но теперь - подгруппа непримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как её порядок равен , то нильпотентна, и опять не самоцентрализуема. Противоречие.

Теорема доказана полностью.

Рассмотрим доказательство следствия.

Proof. Пусть

- конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Если - несверхразрешимая в подгруппа, то , где - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из , т. е. группа удовлетворяет условию теоремы. Поэтому

или

где

- нильпотентная группа. Если

то в

имеется несверхразрешимая подгруппа индекса . Так как этот индекс должен быть примарен, то или , поэтому или , а - либо -группа, либо -группа. Если

то в

имеется несверхразрешимая подгруппа Шмидта порядка , а её индекс равен и должен быть примарен, т. е. должна быть -группой. Следствие доказано.

4 ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лемма 4.1. Пусть

. Тогда:

(1) если

, , то ;

(2) если

, , то .

Следствие 4.2. Если

нильпотентна, то нильпотентна.

Теорема 4.3. Пусть

, и . Если нильпотентна, то нильпотентна.

Теорема 4.4. (1) Центр

неединичной нильпотентной группы отличен от единицы и .

(2) В нильпотентной группе каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.

(3) В нильпотентной группе

пересечение неединичной нормальной подгруппы с центром группы отлично от единицы и .

Лемма 4.5. Пусть

- нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если

, то и ;

(2) если

, то и ;

(3)

;

(4)

.

Теорема 4.6. Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда её коммутант содержится в подгруппе Фраттини.

Теорема 4.7. Пусть

. Тогда:

(1)

;

(2)

;

(3) если

, то ;