Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 4 из 17)

Определение. Пусть

- простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа

является либо -группой, либо -группой.

Определение. Наименьшее целое число

, для которого , мы назовем -длинной группы и обозначим его , или, если необходимо, .

-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда

Доказывается

Теорема D. Если

- -разрешимая группа, где - нечетное простое число, то

(i)

(ii)

если не является простым числом Ферма, и , если - простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.

В главе "Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам" доказана важная теорема.

Определение. Группа

называется -сверхразрешимой, если ее главные факторы либо -группы, либо имеют простые порядки. -Сверхразрешимой называют группу, у которой факторы главного ряда либо имеют порядок , либо являются -группами. Группа, у которой все факторы главного ряда имеют простые порядки, называется сверхразрешимой.

Теорема E. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна

или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Также доказано следствие из этой теоремы.

Следствие. Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна

или , где - -группа, либо , где - -группа.

1 ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы

называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через . Множество простых делителей порядка группы обозначается через а наибольшую нормальную -подгруппу группы - через .

Лемма 1.1. (1)

- наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы ;

(2)

;

(3)

.

Proof. (1) Пусть

и - нильпотентные нормальные подгруппы группы и пусть и - силовские -подгруппы из и . Так как , а , то по лемме 4.1, с. 35. Аналогично, , поэтому . Ясно, - -группа. Покажем, что она силовская в . Для этого вычислим ее индекс:

Так как числитель не делится на

, то - силовская -подгруппа группы . Итак, произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп есть нормальная нильпотентная подгруппа. Поэтому - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы .