(2) Ясно, что
для всех , поэтомуОбратно, если
- силовская -подгруппа группы , то и нормальна в , поэтому и(3) Если
, то и нильпотентна, поэтому по (1) и .Лемма 1.2. (1)
; если разрешима и , то ;(2)
(3) если
, то ; если, кроме того, абелева, тоProof. (1) Поскольку подгруппа Фраттини
- нильпотентная нормальная подгруппа группы , то . Пусть - разрешимая неединичная группа. Тогда разрешима и неединична. ПустьТак как
- -группа для некоторого простого , то по следствию 4.2, с. 35, подгруппа нильпотентна и . Следовательно, .(2) Если
, то - нильпотентная нормальная в подгруппа по теореме 4.3, с. 35, поэтому иОбратное включение следует из определения подгруппы Фиттинга.
(3) Для минимальной нормальной подгруппы
либо , либо . Если , тоЕсли
, то - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как , то . С другой стороны, по теореме 4.4, с. 35, поэтому .Теорема 1.3.
для любого . В частности, если разрешима, тоProof. Пусть
, . Так как по лемме 4.5, с. 35, то . Предположим, что для некоторого и пустьЯсно, что
и Пусть - силовская -подгруппа группы . Так как -группа, то , а поскольку , то и . Теперь, - нильпотентная нормальная подгруппа группы и . Таким образом, и первое утверждение доказано. Если разрешима, то разрешима, поэтому и .Говорят, что подгруппа
группы дополняема в , если существует такая подгруппа , что и . В этом случае подгруппу называют дополнением к подгруппе в группеТеорема 1.4. Если
- нильпотентная нормальная подгруппа группы и , то дополняема в .