Смекни!
smekni.com

Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 5 из 17)

(2) Ясно, что

для всех
, поэтому


Обратно, если

- силовская
-подгруппа группы
, то
и
нормальна в
, поэтому
и

(3) Если

, то
и
нильпотентна, поэтому
по (1) и
.

Лемма 1.2. (1)

; если
разрешима и
, то
;

(2)

(3) если

, то
; если, кроме того,
абелева, то

Proof. (1) Поскольку подгруппа Фраттини

- нильпотентная нормальная подгруппа группы
, то
. Пусть
- разрешимая неединичная группа. Тогда
разрешима и неединична. Пусть

Так как

-
-группа для некоторого простого
, то по следствию 4.2, с. 35, подгруппа
нильпотентна и
. Следовательно,
.

(2) Если

, то
- нильпотентная нормальная в
подгруппа по теореме 4.3, с. 35, поэтому
и

Обратное включение следует из определения подгруппы Фиттинга.

(3) Для минимальной нормальной подгруппы

либо
, либо
. Если
, то

Если

, то
- элементарная абелева
-группа для некоторого простого
. Так как
, то
. С другой стороны,
по теореме 4.4, с. 35, поэтому
.

Теорема 1.3.

для любого
. В частности, если
разрешима, то

Proof. Пусть

,
. Так как
по лемме 4.5, с. 35, то
. Предположим, что
для некоторого
и пусть

Ясно, что

и
Пусть
- силовская
-подгруппа группы
. Так как

-группа, то
, а поскольку
, то
и
. Теперь,
- нильпотентная нормальная подгруппа группы
и
. Таким образом,
и первое утверждение доказано. Если
разрешима, то
разрешима, поэтому
и
.

Говорят, что подгруппа

группы
дополняема в
, если существует такая подгруппа
, что
и
. В этом случае подгруппу
называют дополнением к подгруппе
в группе

Теорема 1.4. Если

- нильпотентная нормальная подгруппа группы
и
, то
дополняема в
.