Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 6 из 17)
Proof. По условию
а по теореме 4.6, с. 35, коммутант 
. По теореме 4.7, с. 35, подгруппа Фраттини 
а по условию 
Поэтому 
и 
абелева. Пусть 
- добавление к в 
. По лемме 4.8, с. 35, 
Поскольку 
и 
то 
и по теореме 4.7, с. 35, 
Следовательно,
и - дополнение к в .Теорема 1.5. Факторгруппа
есть прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы 
.Proof. Предположим вначале, что
и обозначим через 
подгруппу Фиттинга 
По теореме 4.6 коммутант 
Но 
значит 
по теореме 4.7, с. 35. Поэтому 
и абелева. Пусть - прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы наибольшего порядка. Тогда 
и по теореме 1.4 существует подгруппа 
такая, что 
По тождеству Дедекинда 
Но абелева, поэтому 
а так как 
, то 
По выбору пересечение 
и 
Пусть теперь
и 
По лемме 1.2(2) 
Так как 
то для 
утверждение уже доказано.Следствие 1.6. В разрешимой группе с единичной подгруппой Фраттини подгруппа Фиттинга есть прямое произведение минимальных нормальных подгрупп.
Теорема 1.7. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.
Proof. Пусть
По следствию 4.9, с. 35, подгруппа
нормальна в . Если 
главный ряд группы
, то 
нормальный ряд группы
. Так как подгруппа содержится в каждой подгруппе 
, то 
для
. По теореме 4.10, с. 35, подгруппа нильпотентна, поэтому 
.Проверим обратное включение. Пусть
- главный фактор группы . Так как 
то по лемме 4.11, с. 35, либо
либо 
В первом случае
, поэтому
Во втором случае из нильпотентности подгруппы
по лемме 1.2 получаем, что 
Снова
. Таким образом, 
и 
.Лемма 1.8.
.Proof. Пусть
. Ясно, что 
и 
. Так как 
то
и 
изоморфна нормальной нильпотентной подгруппе группы 
. Поэтому 
и
.Пусть
- группа и пусть 
Ясно, что
В разрешимой неединичной группе подгруппа Фиттинга отлична от единичной подгруппы по лемме 1.2. Поэтому для разрешимой группы существует натуральное
такое, что 
.Нильпотентной длиной разрешимой группы
называют наименьшее , для которого . Нильпотентную длину разрешимой группы обозначают через 
. Таким образом, если группа разрешима и 
, то