Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 7 из 17)

где

Поэтому построенный ряд нормальный и его факторы

нильпотентны.

Ясно, что

тогда и только тогда, когда группа нильпотентна.

Пример 1.9.

.

Непосредсвенно из определения нильпотентной длины вытекает

Лемма 1.10. Пусть

- разрешимая группа. Тогда:

(1)

;

(2)

.

Лемма 1.11. (1) Если

- разрешимая группа, то длина любого нормального ряда группы с нильпотентными факторами не меньше, чем .

(2) Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с нильпотентными факторами.

Proof. (1) Применим индукцию по порядку группы

. Пусть

нормальный ряд группы

с нильпотентными факторами. Так как - нормальная нильпотентная подгруппа группы , то и . Здесь . Факторгруппа имеет порядок меньше, чем порядок группы и обладает рядом

где

. Ясно, что это нормальный ряд, его длина и его факторы

нильпотентны. По индукции

и .

(2) следует из (1).

Лемма 1.12. Пусть

- разрешимая группа. Тогда:

(1) если

, то ;

(2) если

, то ;

(3) если

и , то

в частности, если

и - разрешимые группы,то

(4)

.

Proof. Пусть

и . Тогда

(1) Пусть

. Тогда ряд

будет нормальным рядом подгруппы

с нильпотентными факторами

По лемме 1.11

.

(2) Пусть

и . Тогда ряд

будет нормальным рядом группы

с нильпотентными факторами

По лемме 1.10

.

(3) Ясно, что

. Обозначим . Тогда по лемме 1.10, а по индукции

Поэтому

. Так как по (1), то имеем

(4) Положим

. По лемме 1.2 для неединичной разрешимой группы имеем и

Поэтому

.

Следующая теорема принадлежит К. Дёрку.

Теорема 1.13. Если

- максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .

Пример. Воспользуемся индукцией по порядку группы

. Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Если , то и , где . Поэтому можно предположить, что все минимальные нормальные подгруппы группы содержатся в . Если группа содержит две различные минимальные нормальные подгруппы, то и по индукции

Поскольку

то теорема справедлива. Следовательно, можно считать, что группа

содержит в точности одну минимальную нормальную подгруппу. Если , то по лемме 1.12 и опять