Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 8 из 17)

Поскольку

то опять теорема справедлива.

Итак, можно считать, что

и по следствию 1.6. По индукции

Если

, то утверждение справедливо. Пусть , т.е. . Считаем, что - -группа. Тогда - -группа. Пусть . Если , то и , поэтому

и теорема справедлива.

Остается случай, когда

. Так как - -подгруппа, то

причем

- -группа. Противоречие.

Пример 1.14.

Все три значения

в теореме 1.13 имеют место. Значение выполняется на любой нильпотентной неединичной группе. Значение выполняется на группе с максимальной подгруппой . Значение выполняется на группе , у которой силовская -подгруппа максимальна.

Если факторгруппа

нильпотентна, то группу называют метанильпотентной.

Теорема 1.15. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Обозначим через

пересечение всех максимальных подгрупп группы , не содержащих , а через пересечение максимальных подгрупп группы , содержащих . Ясно, что подгруппы и характеристические в группе и

(1) В факторгруппе

подгруппа Фиттинга

по лемме 1.2, поэтому

Предположим, что

и пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Так как подгруппа нормальна в группе и факторгруппа нильпотентна, то по теореме 4.3, с. 35, подгруппа нильпотентна и . Но теперь

противоречие. Поэтому допущение неверно и

, т.е. .

(2) Пусть

- разрешимая ненильпотентная группа. Ясно, что и

Поэтому подгруппа

метанильпотентна.

Пример 1.16. В неразрешимой группе

центр, подгруппа Фраттини и подгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок . Поэтому в группе нет максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

Следовательно, утверждение (1) теоремы 1.15 в неразрешимых группах нарушается.

2

-ДЛИНА

-РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ

Пусть

- простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа

является либо -группой, либо -группой. Поэтому для такой группы мы можем индуктивно определить верхний -ряд.