Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 9 из 17)

потребовав, чтобы

была наибольшей нормальной -подгруппой в , а - наибольшей нормальной -подгруппой в .

Наименьшее целое число

, для которого , мы назовем -длинной группы и обозначим его , или, если необходимо, .

-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда (2.2). Подгруппы и , очевидно, характеристичны в , и содержит все нормальные подгруппы группы с -длинной, не превосходящей числа . Заметим также, что

для

Подгруппы и факторгруппы

-разрешимой группы также -разрешимы, и их длина не превышает . Если группы и обе -разрешимы, то таково же их прямое произведение и

Пусть

- -разрешимая группа и - ее силовская -подгруппа. Разумно предположить, что чем больше -длинна группы , тем большей должна быть сложность силовской подгруппы . Придадим точный смысл этому утверждению и докажем его несколькими способами, избирая различные критерии сложности . Наиболее естественные из этих критериев, силовские -инварианты группы , таковы:

(i)

где - порядок ,

(ii)

- класс нильпотентности , т.е. длина (верхнего или) нижнего центрального ряда ,

(iii)

- длина ряда коммутантов ,

(iv)

где - экспонента , т.е.

наибольший из порядков элементов

. Экспонента самой группы , т.е. наименьшее общее кратное порядков ее элементов, равна поэтому . Очевидно, равенство нулю любого из инвариантов или равносильно тому, что является -группой.

В основных теоремах ограничимся случаем нечетных простых чисел

, и даже тогда результаты будут несколько различнми, в зависимости от того, является ли простым числом Ферма вида или нет.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Если

- -разрешимая группа, где - нечетное простое число, то

(i)

(ii)

если не является простым числом Ферма, и , если - простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.

Мы установим также неравенства, связывающие

c и с , но здесь наши результаты будут неулучшаемы только для простых чисел, не являющихся простыми числами Ферма. Все эти результаты тривиальны для , и мы докажем их индукцией по . Предположим, что и что , как всегда обладает верхним -рядом (2.2). Пусть подгруппа Фраттини -группы . Всякий элемент группы индуцирует внутренний автоморфизм группы и, следовательно, группы . Но, как извесно, является элементарной абелевой -группой; поэтому ее можно отождествить с аддитивной группой векторного пространства над простым полем характеристики , а ее автоморфизм - с линейными преобразованиями этого пространства. Автоморфизмы группы , индуцированные элементами , образуют поэтому линейную группу над полем характеристики . Эта группа, очевидно, является гомоморфным образом группы , и мы покажем, что в действительности она изоморфна группе , и поэтому является -разрешимой группой, не содержащей нормальной подгруппы, отличной от единицы.